Układ równań

basket164 · Post autor: **basket164** » 9 lip 2009, o 19:50

Witam,

Mam takie zadanie:

1. Rozwiąż układ równań :

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x _{1}+2x _{2}-x _{3}-4x _{4}=3 } \\2x _{1}+3x _{2}+x _{3}+x _{4}=4 \\3x _{1}+5x _{2}-3x _{3}=7 \end{array}}\)

jak je rozwiązać?

argv · Post autor: **argv** » 9 lip 2009, o 21:06

Np metoda gaussa - uloz najpierw wspolczynniki w macierz tzn np:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]}\)

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 9 lip 2009, o 23:59

Najpierw przydałaby się jakaś analiza na podstawie tw Kroneckera - Capelliego.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lip 2009, o 00:01

fon_nojman pisze:Najpierw przydałaby się jakaś analiza na podstawie tw Kroneckera - Capelliego.

A po co? Po Gaussie wszystko wyjdzie

basket164 · Post autor: **basket164** » 10 lip 2009, o 00:19

no to powstaje nam taka macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-4&3\\2&3&1&1&4\\3&5&-3&0&7\end{array}\right]}\)

i co teraz?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lip 2009, o 00:20

Eliminacja metodą Gaussa. Na forum jest masa przykładów. Poszukaj.

basket164 · Post autor: **basket164** » 10 lip 2009, o 00:53

ale tutaj jest macierz 3x4 wiec jak to zrobic?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lip 2009, o 00:54

Sprowadz macierz do postaci wierszowo zredukowanej.

basket164 · Post autor: **basket164** » 10 lip 2009, o 01:00

nie wiem co to znaczy ze do macierzy wierszowo zredukowanej, wydaje mi sie ze chodzi o to zeby w ostatnim wierszu byly same zera i wtedy mozna ten wiersz wykreslic no ale wtedy powstanie macierz 2x3, wiec o co chodzi?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lip 2009, o 01:04

google-> macierz wierszowo zredukowana
biblioteka -> książka - > algebra liniowa ->macierz wierszowo zredukowana

basket164 · Post autor: **basket164** » 10 lip 2009, o 01:20

nigdzie czegoś takiego nie ma...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lip 2009, o 01:26

W książkach też?

basket164 · Post autor: **basket164** » 10 lip 2009, o 01:36

no mam kilka książek ale w żadnej czegoś takiego nie ma...

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 lip 2009, o 02:56

basket164 pisze:nie wiem co to znaczy ze do macierzy wierszowo zredukowanej, wydaje mi sie ze chodzi o to zeby w ostatnim wierszu byly same zera i wtedy mozna ten wiersz wykreslic no ale wtedy powstanie macierz 2x3, wiec o co chodzi?

Chodzi o macierz schodkową otrzymaną z danej macierzy metodą eliminacji Gaussa. Z macierzy schodkowej można wywnioskować czy układ jest sprzeczny czy nie. W wypadku niesprzeczności łatwo znależć rozwiązania.
Nie jest to metoda jedyna.
Można tak jak w szkole średniej wyznaczyć z pierwszego \(\displaystyle{ x_4}\) podstawić do drugiego, następnie z drugiego wyznaczyć \(\displaystyle{ x_3}\) i podstawić do ostatniego. Tak "na oko" układ jest nieoznaczony, więc otrzymamy równanie z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ x_1,\ x_2}\). Wybieramy jedną z nich za parametr (zmienną decyzyjną) i w zależności od niej wyznaczamz pozostałe.
Amatorzy liczenia wyznaczników moga spróbować wzorów Cramera.
I tak dalej.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 10 lip 2009, o 08:29

basket164 pisze:no to powstaje nam taka macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-4&3\\2&3&1&1&4\\3&5&-3&0&7\end{array}\right]}\)

i co teraz?

Operacjami elementarnymi (najlepeij wykorzystując metode eliminacji Gaussa) sprowadź do postaci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0& u_{1}&a\\0&1&0& u_{2}&b\\0&0&1& u_{3}&c\end{array}\right]}\)

wówczas możesz sobie rozbić na:

oznaczmy \(\displaystyle{ x_{4}=t}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{array}\right] \cdot t =\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right]}\)

Stąd już prosty wniosek:
\(\displaystyle{ x_{1} = a - u_{1} \cdot t\\
x_{2} = b - u_{2} \cdot t\\
x_{3} = c - u_{3} \cdot t}\)

a,b,c, u1,u2,u3 są konkretnymi wartościami liczbowymi. t pozostaje jako t. Gdy masz więcej niewiadomych, niż równań to cała nadwyżka staje się parametrami (choć trzeba uważać na pułapki gdy rząd macierzy jest niższy niż początkowa liczba wierszy lub wręcz może wyjść sprzeczność -> w jednym z wierszy wyjdzie rząd zer i ostatnia niezerowa.)