wektory wlasne formy kwadratowej

setch · Post autor: **setch** » 5 lip 2009, o 12:17

Mam forme kwadratowa
\(\displaystyle{ 5x^2-6xy+5y^2}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 5&-3\\-3&5\end{bmatrix}}\)
Policzylem wartosci wlasne \(\displaystyle{ \lambda_1=2 \quad \lambda_2=8}\)
i jak chce policzyc wektory wlasne odpowiadajace wartosciom wlasnym z równania \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\) to dostaje taki uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1-3x_2=0\\-3x_1+3x_2=0\end{cases}}\)

Podobnie dzieje sie dla drugiej wartosci wlasnej jak mam z tego znalesc wektor wlasny?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 5 lip 2009, o 12:20

Jest ok. Rozwiąż teraz jednorodny układ równań. Rozwiązanie tego układu to Twoj wektor własny

setch · Post autor: **setch** » 5 lip 2009, o 12:29

Czy wektory wlasne nie powinny byc jednoznacznie wyznaczone, np \(\displaystyle{ [3,4] \quad [-3,3]}\) czy moga byc postaci jak u mnie wychodzi \(\displaystyle{ [t,t] \quad [t,-t] \quad t\in\mathbb{R}}\)?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 5 lip 2009, o 12:30

Powinny być. I po rozwiązaniu takie też wychodzą Pokaż jak rozwiązujesz ten układ.

setch · Post autor: **setch** » 5 lip 2009, o 12:36

Z tego co napisalem, dostaje rozwiazanie \(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Rozwiazuje go odrzucając jedno z rownanń(w konću są takie same), dzielać przez 3 i porządkując.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 5 lip 2009, o 12:38

Wrzucasz w macierz :
pierwszy i drugi wiersz dzielisz przez 3
do drugiego wiersza dodajesz pierwszy
Rozwiązanie to wektor: \(\displaystyle{ [1,1]}\)
Czyli to samo co Tobie wyszło

rolnik41 · Post autor: **rolnik41** » 15 lis 2011, o 21:04

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 lis 2011, o 01:35

setch pisze:Czy wektory wlasne nie powinny byc jednoznacznie wyznaczone

W żadnym razie! W szczególności, dla każdej wartości własnej macierzy nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest ich zawsze nieskończenie wiele.

Pozdrawiam.