Ponieważ ciało liczb wymiernych Q jest podciałem ciała liczb rzeczywistych R więc możemy potraktować R jako przestrzeń liniową nad Q. Udowodnić, że wówczas zbiór {1, \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)} jest liniowo niezależny.
Niby umiem robić zadania z liniowej niezależności, ale z tym nie wiem, co zrobic
Liniowa zależność
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Liniowa zależność
Uściślijmy moze treść polecenia: trzeba wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ (1,\sqrt{2},\sqrt{3})}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).
Przypuśćmy przeciwnie, że zbiór \(\displaystyle{ (1,\sqrt{2},\sqrt{3})}\) jest liniowo zależny nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Zatem istnieją niezerowe liczby \(\displaystyle{ x,y,x\in\mathbb{Q}}\) takie, że
Przypuśćmy przeciwnie, że zbiór \(\displaystyle{ (1,\sqrt{2},\sqrt{3})}\) jest liniowo zależny nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Zatem istnieją niezerowe liczby \(\displaystyle{ x,y,x\in\mathbb{Q}}\) takie, że
\(\displaystyle{ x\cdot 1+y\cdot\sqrt{2}+z\cdot\sqrt{3}=0}\).
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ y\sqrt{2}+z\sqrt{3}=-x}\). Podnosząc ostatnią równość stronami do kwadratu otrzymujemy \(\displaystyle{ 2y^2+3z^2+2yz\sqrt{6}=x^2}\), tj. \(\displaystyle{ 2yz\sqrt{6}=x^2-2y^2-3z^2}\). Lewa strona otrzymanej równości jest liczbą niewymierną (jako iloczyn niezerowej liczby wymiernej \(\displaystyle{ 2yz}\) i liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)), podczas gdy prawa strona jest jak łatwo widać liczbą wymierną. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.