Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Mam kolejne pytanie. Po raz kolejny obliczyłem rząd macierzy rozszerzonej. Według moich obliczeń jest on równy 1. Czy jest to wartość poprawna?-- 3 lipca 2009, 08:21 --Czy ktoś mógłby rozwiązać te dwa przykłady od początku krok po kroku, bo są niby proste, ale jakoś nie mogę ich rozwiązać?
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
1.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\2&-1&2&2 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1} = \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|-2\\0&-5&-8&4 \left|1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|-2\\0&0&0&0 \left|3\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ RzA=2}\)
\(\displaystyle{ Rz[A|b]=3}\)
\(\displaystyle{ RzA \neq Rz[A|b]}\) układ jest sprzeczny
2.
\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix}1&2\\2&2k\end{bmatrix} = 2k-4}\)
\(\displaystyle{ 2k-4 = 0 \Rightarrow k=2}\)
dla \(\displaystyle{ k=2}\) układ jest sprzeczny
dla \(\displaystyle{ k \neq 2}\) układ jest oznaczony (posiada jeno rozwiazanie)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\2&-1&2&2 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1} = \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|-2\\0&-5&-8&4 \left|1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&2&3&-1 \left|2\\0&-5&-8&4 \left|-2\\0&0&0&0 \left|3\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ RzA=2}\)
\(\displaystyle{ Rz[A|b]=3}\)
\(\displaystyle{ RzA \neq Rz[A|b]}\) układ jest sprzeczny
2.
\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix}1&2\\2&2k\end{bmatrix} = 2k-4}\)
\(\displaystyle{ 2k-4 = 0 \Rightarrow k=2}\)
dla \(\displaystyle{ k=2}\) układ jest sprzeczny
dla \(\displaystyle{ k \neq 2}\) układ jest oznaczony (posiada jeno rozwiazanie)
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Agulka 1987, czy jesteś pewna swoich rozwiązań? Ja wcześniej rozwiązywałem to zadanie samodzielnie i otrzymałem dokładnie takie samo rozwiązanie jak Ty. Pisałem tylko po to, żeby się upewnić, czy dobrze zrobiłem. Jednak w temacie ktoś napisał, że to rozwiązanie jest niepoprawne, więc ja już sam nie wiem.
Ostatnio zmieniony 3 lip 2009, o 11:22 przez darek88, łącznie zmieniany 1 raz.
-
miodzio1988
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Miodzio 1988, więc chciałbym się tylko zapytać, jaka jest ostateczna wersja rozwiązania tego zadania. Czy taka sama, jak Agulki 1987?
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Czy ktoś mógłby rozpisać dokładnie rozwiązanie poniższego zadania za pomocą Twierdzenia Kroneckera - Capellego?
Przedyskutuj liczbę rozwiązań układu równań
x + 2y = 2
2x + k2y = k
w zależności od parametru k.
Przedyskutuj liczbę rozwiązań układu równań
x + 2y = 2
2x + k2y = k
w zależności od parametru k.
-
argv
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 66 razy
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Ja bym zrobił tak, niekoniecznie z twierdzenia K-C
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}\\
{2}&{2k}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{2}\\
{k}
\end{pmatrix}}\)
Obliczamy wyznacznik A i jest on rowny \(\displaystyle{ 2k-4 = 2(k-2)}\)
Z tw. Cramera wiemy ze uklad ma jednoznaczne rozwiazanie wtw. gdy \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)
Więc \(\displaystyle{ 2(k-2) \neq 0 \Leftrightarrow k \neq 2}\)
Ostatecznie układ ma jednoznaczne rozwiazanie gdy \(\displaystyle{ k \neq 2}\)
Drugi przypadek, co się dzieje jeśli \(\displaystyle{ k = 2}\)
Podstawiając (zapisze w postaci jednej macierzy rozszerzonej - nie umiem jeszcze robic kreski oddzielajacej w latexie ) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}&{2}\\
{2}&{4}&{2}
\end{pmatrix}}\)
Odejmujac od drugiego wiersza 2* pierwszy mamy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}&{2}\\
{0}&{0}&{-2}
\end{pmatrix}}\)
Czyli widac ze dla \(\displaystyle{ k=2}\) uklad jest sprzeczny i nie ma rozwiazan. A z K-C bym uzasadnil, ze rzad zwyklej = 1, a rzad rozszerzonej = 2 czyli uklad nie ma jednoznaczengo rozwiazania
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}\\
{2}&{2k}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{2}\\
{k}
\end{pmatrix}}\)
Obliczamy wyznacznik A i jest on rowny \(\displaystyle{ 2k-4 = 2(k-2)}\)
Z tw. Cramera wiemy ze uklad ma jednoznaczne rozwiazanie wtw. gdy \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)
Więc \(\displaystyle{ 2(k-2) \neq 0 \Leftrightarrow k \neq 2}\)
Ostatecznie układ ma jednoznaczne rozwiazanie gdy \(\displaystyle{ k \neq 2}\)
Drugi przypadek, co się dzieje jeśli \(\displaystyle{ k = 2}\)
Podstawiając (zapisze w postaci jednej macierzy rozszerzonej - nie umiem jeszcze robic kreski oddzielajacej w latexie ) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}&{2}\\
{2}&{4}&{2}
\end{pmatrix}}\)
Odejmujac od drugiego wiersza 2* pierwszy mamy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
{1}&{2}&{2}\\
{0}&{0}&{-2}
\end{pmatrix}}\)
Czyli widac ze dla \(\displaystyle{ k=2}\) uklad jest sprzeczny i nie ma rozwiazan. A z K-C bym uzasadnil, ze rzad zwyklej = 1, a rzad rozszerzonej = 2 czyli uklad nie ma jednoznaczengo rozwiazania