Odwzorowanie liniowe

[mopa]

1.Wyznaczyć odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R^3->R^4}\) spełniające warunki
\(\displaystyle{ f(1,0,1)=(3,-1,5,-4)}\)
\(\displaystyle{ f(-1,2,1)=(0,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(0,2,1)=(2,-4,5,4)}\)

2.Czy odwzorowanie to jest iniektywne?
Wyznaczyć zbiór
\(\displaystyle{ W= { x \in R^3 : f(x_{1},x_{2},x_{3})=(3,-1,5,-4)}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}+a_{13}=3 \\ -a_{11}+2a_{12}+a_{13}=0 \\2a_{12}+a_{13}=2 \end{cases}}\)
Tworzę jeszcze 3 układy w których zmieniają się prawe strony.
Wyniki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}=2 \\ a_{12}= \frac{1}{2} \\ a_{13}=1 \end{cases}
\begin{cases} a_{21}=-4 \\ a_{22}=- \frac{7}{2} \\ a_{23}=3 \end{cases}
\begin{cases} a_{31}=5 \\ a_{32}= \frac{5}{2} \\ a_{33}=0 \end{cases}
\begin{cases} a_{41}=-8 \\ a_{42}= 6 \\ a_{43}=4 \end{cases}}\)

Czy zbiór jest iniektywny? = czy jest różnowartościowy ?
Nie wiem jak wykonać drugą część zadania

[fon_nojman]

1) Wektory \(\displaystyle{ (1,0,1),(-1,2,1),(0,2,1)}\) są liniowo niezależne czyli tworzą bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ a}\) a wektor w tej bazie przez \(\displaystyle{ (x,y,z)_a}\).

Określamy \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ f((x,y,z)_a)=x(3,-1,5,-4)+y(0,0,0,0)+z(2,-4,5,4)}\).

Tak zdefiniowane \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe i spełnia żądany warunek.

Oczywiście nie jest różnowartościowe bo np \(\displaystyle{ f((0,0,0)_a)=f((0,1,0)_a)=0}\).

2) \(\displaystyle{ W=\{ (1,y,0)_a:y\in \mathbb{R} \}}\) tak jest ponieważ wektory \(\displaystyle{ (3,-1,5,-4),(2,-4,5,4)}\) są liniowo niezależne (tworzą bazę) czyli \(\displaystyle{ (3,-1,5,-4)}\) da się za ich pomocą zapisać tylko na jeden sposób.