Czy wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a-d&b-d\\b-e&c-e\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ a,b,c,d,e \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a+b \le 1,b+c \le 1,d+e \le 1}\)
mogą być zespolone?
Wartości własne macierzy 2x2
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Wartości własne macierzy 2x2
Operatory liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych [edytuj]
Osobny artykuł: widmo macierzy.
Jeżeli przestrzeń X jest skończenie wymiarowa, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator T reprezentowany jest przez pewną macierz - wówczas zamiast o wartości własnej operatora mówimy o wartości własnej macierzy. Macierz operatora (przekształcenia liniowego) przestrzeni skończeniewymiarowej jest kwadratowa. Wartości własne macierzy kwadratowej Ain K^n_n są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:
wA(λ) = det(A − λI),
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).
* Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
* Po transpozycji macierzy A, jej wartości własne nie ulegają zmianie
Korzystając z własności macirz nie może być symetryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=c-e \\ b-e=b-d rownan \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy b=d więc czyli
wiystarczy,aby b było różne od e .Wtedy macierz nie jestv symetryczna.
Osobny artykuł: widmo macierzy.
Jeżeli przestrzeń X jest skończenie wymiarowa, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator T reprezentowany jest przez pewną macierz - wówczas zamiast o wartości własnej operatora mówimy o wartości własnej macierzy. Macierz operatora (przekształcenia liniowego) przestrzeni skończeniewymiarowej jest kwadratowa. Wartości własne macierzy kwadratowej Ain K^n_n są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:
wA(λ) = det(A − λI),
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).
* Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
* Po transpozycji macierzy A, jej wartości własne nie ulegają zmianie
Korzystając z własności macirz nie może być symetryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=c-e \\ b-e=b-d rownan \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy b=d więc czyli
wiystarczy,aby b było różne od e .Wtedy macierz nie jestv symetryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wartości własne macierzy 2x2
Nniesymetryczność macierzy niewiele tu pomaga. Macierze niesymetryczne notorycznie miewają jedynie rzeczywiste wartości własne.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wartości własne macierzy 2x2
To nie jest warunek na symetryczność. Na symetryczność wystarczy \(\displaystyle{ b-e=b-d}\).Kartezjusz pisze: Korzystając z własności macirz nie może być symetryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=c-e \\ b-e=b-d rownan \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy b=d więc czyli
wiystarczy,aby b było różne od e .Wtedy macierz nie jestv symetryczna.
Właściwie udało już mi się znaleźć zespoloną wartość własną, wystarczy zauważyć coś prostego. Nie będę psuł zabawy.
Jeszcze jedno pytanie: Wyznaczyć zbiory punktów \(\displaystyle{ (a,b,c,d,e)}\) dla których wartości własne są rzeczywiste a dla których zespolone.