Wartości własne macierzy 2x2

[fon_nojman]

Czy wartości własne macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a-d&b-d\\b-e&c-e\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ a,b,c,d,e \ge 0}\)

\(\displaystyle{ a+b \le 1,b+c \le 1,d+e \le 1}\)

mogą być zespolone?

[Kartezjusz]

Operatory liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych [edytuj]

Osobny artykuł: widmo macierzy.

Jeżeli przestrzeń X jest skończenie wymiarowa, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator T reprezentowany jest przez pewną macierz - wówczas zamiast o wartości własnej operatora mówimy o wartości własnej macierzy. Macierz operatora (przekształcenia liniowego) przestrzeni skończeniewymiarowej jest kwadratowa. Wartości własne macierzy kwadratowej Ain K^n_n są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:

wA(λ) = det(A − λI),

gdzie I jest macierzą jednostkową.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).

* Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
* Po transpozycji macierzy A, jej wartości własne nie ulegają zmianie
Korzystając z własności macirz nie może być symetryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=c-e \\ b-e=b-d rownan \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy b=d więc czyli


wiystarczy,aby b było różne od e .Wtedy macierz nie jestv symetryczna.

[xiikzodz]

Nniesymetryczność macierzy niewiele tu pomaga. Macierze niesymetryczne notorycznie miewają jedynie rzeczywiste wartości własne.

[fon_nojman]

Korzystając z własności macirz nie może być symetryczna
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=c-e \\ b-e=b-d rownan \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy b=d więc czyli


wiystarczy,aby b było różne od e .Wtedy macierz nie jestv symetryczna.

To nie jest warunek na symetryczność. Na symetryczność wystarczy \(\displaystyle{ b-e=b-d}\).

Właściwie udało już mi się znaleźć zespoloną wartość własną, wystarczy zauważyć coś prostego. Nie będę psuł zabawy.

Jeszcze jedno pytanie: Wyznaczyć zbiory punktów \(\displaystyle{ (a,b,c,d,e)}\) dla których wartości własne są rzeczywiste a dla których zespolone.