Forma kwadratowa

[dj3500]

Udowodnij lub obal: jeśli forma kwadratowa \(\displaystyle{ Q}\) nie jest ani dodatnio, ani ujemnie określona, to istnieje \(\displaystyle{ v \neq 0}\), tże \(\displaystyle{ Q(v) = 0}\).

[Kartezjusz]

Zauważ,że forma kwadratowa jest normą ( jednorodna,podaddytywna,rwna zreu wtedy i tylko wtedu gdy równa zeru).
Udowodnię,że jest każda norma jest funkcją ciągłą,co generuje własność Darboux
Mam nięc dowieść,jeżeli
|X-x|<u u jest dodatnie to
||X|-|x||też.
Ale
||X|-|x||<|X-x|<u.Czego dowiodłem.
Każda funkcja ciągła ma własność darboux,czyli to co miałeś udowodnić.

[dj3500]

1) Forma kwadratowa nie jest normą (bywa równa 0, mimo że jej parametr jest różny od 0).
2) Nie mam udowodnić, że jest ciągła, to jest oczywiste. Mam pokazać, że jeśli przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, to przyjmuje gdzieś POZA ZEREM zero.

[max]

Gdyby wszystkie formy kwadratowe były normami, to teza zadania byłaby nieprawdziwa.

Argument z ciągłością bezpośrednio działa w przestrzeniach skończenie wymiarowych:
Na przestrzeni rzeczywistej skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ E}\) można wprowadzić normę, wtedy każde odwzorowanie wieloliniowe (w szczególności dwuliniowe) jest ciągłe, a forma kwadratowa to złożenie odwzorowania dwuliniowego z odwzorowaniem 'przekątniowym' \(\displaystyle{ E\ni v \mapsto (v,v)\in E\times E,}\) które jest ciągłe.
Ponadto biorąc \(\displaystyle{ x, y \in E}\) t,że \(\displaystyle{ Q(x) < 0 < Q(y)}\) łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ x,y}\) są liniowo niezależne (inaczej \(\displaystyle{ Q(x), Q(y)}\) byłyby tego samego znaku).
Stąd \(\displaystyle{ 0\not \in [x,y] :=\{x + t(y-x) \ : \ t\in [0,1]\},}\) i rozpatrując odwzorowanie ciągłe:
\(\displaystyle{ f: [0,1]\ni t \mapsto Q(x + t(y -x)) \in \mathbb{R}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ f(0) < 0 < f(1)}\)
dostajemy \(\displaystyle{ t_{0}\in [0,1]}\) takie, że \(\displaystyle{ Q(x + t_{0}(y-x))=f(t_{0}) = 0,}\)
przy czym \(\displaystyle{ x + t_{0}(y-x)\in [x,y]\subset E\setminus\{0\},}\)
więc możemy położyć \(\displaystyle{ v:= x + t_{0}(y-x)}\)

W ogólności niech \(\displaystyle{ F}\) będzie (rzeczywistą) przestrzenią wektorową, \(\displaystyle{ Q}\) formą kwadratową na \(\displaystyle{ F}\) oraz niech \(\displaystyle{ Q(x) < 0 < Q(y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in F.}\)
Sprowadzamy się do przypadku skończenie wymiarowego rozpatrując \(\displaystyle{ E: = \mbox{span}\{x,y\}}\) - skończenie wymiarową podprzestrzeń \(\displaystyle{ E,}\) i \(\displaystyle{ Q|_{E},}\) wtedy z tego co ustaliliśmy wyżej istnieje \(\displaystyle{ v\in E\setminus\{0\}\subset F\setminus\{0\}}\) t,że \(\displaystyle{ Q(v) = Q|_{E}(v) = 0.}\)