Czy maciesz jest odwracalna?

[john.ponton]

Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Załóżmy dodatkowo, że macierze A oraz I−AB są odwracalne. Sprawdź, że wówczas macierz \(\displaystyle{ A^{-1}−B}\) jest też odwracalna i jej odwrotnością jest macierz \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).

Z góry dziękuje za pomoc;].

[BettyBoo]

Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Załóżmy dodatkowo, że macierze A oraz I−AB są odwracalne. Sprawdź, że wówczas macierz \(\displaystyle{ A^{-1}-B}\) jest też odwracalna i jej odwrotnością jest macierz \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).

Z góry dziękuje za pomoc;].

Jeśli A jest odwracalna i I-AB jest odwracalna, to w szczególności \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\) jest odwracalna i wtedy z własności macierzy mamy

\(\displaystyle{ ((I-AB)^{-1}A)^{-1}=A^{-1}((I-AB)^{-1})^{-1}=A^{-1}(I-AB)=A^{-1}-A^{-1}AB=A^{-1}-B}\)

a ponieważ odwracanie jest jednoznaczne, to \(\displaystyle{ (A^{-1}-B)^{-1}}\) istnieje i jest równa \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).

Pozdrawiam.