W przestrzeni wielomianów postaci \(\displaystyle{ ax^{5}+bx^{3}+cx^{2}}\)
określamy funkcję liniową \(\displaystyle{ f(w)=(xw)'-2w}\)
Oblicz sumą wartości własnych funkcji f i podać wektor własny funkcji f.
Nie mam pomysłu jak to zrobić.
Wartość własna i wektor własny przekształcenia
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartość własna i wektor własny przekształcenia
Ponieważ bazą przestrzeni wektorów tej postaci jest np \(\displaystyle{ B=(x^5,x^3,x^2)}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(ax^5+bx^3+cx^2)=...=4ax^5+2bx^3+cx^2}\)
to macierz tego przekształcenia w bazie B jest diagonalna i ma postać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
a więc wartości własne to 4,2 i 1 - ich suma to 7, a przykładowym wektorem własnym jest \(\displaystyle{ x^2}\), bo \(\displaystyle{ f(x^2)=x^2}\).
Pozdrawiam.
oraz
\(\displaystyle{ f(ax^5+bx^3+cx^2)=...=4ax^5+2bx^3+cx^2}\)
to macierz tego przekształcenia w bazie B jest diagonalna i ma postać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
a więc wartości własne to 4,2 i 1 - ich suma to 7, a przykładowym wektorem własnym jest \(\displaystyle{ x^2}\), bo \(\displaystyle{ f(x^2)=x^2}\).
Pozdrawiam.