macierz przekształcenia liniowego

[Namarie]

Zadanie brzmi:

Znajdź macierz przekształcenia liniowego takiego, że prosta x=2y= -3z jest jej przestrzenią własną dla wartości własnej -5 i płaszczyzna do niej prostopadła jest jej przestrzenią własną dla wartości własnej 2.

Proszę o pomoc

[BettyBoo]

Wystarczy tylko odpowiednio dobrać wektory bazowe (bo nie jest powiedziane, w jakich bazach ma być ta macierz, a wartości własne są niezmiennikami przekształcenia i nie zależą od wyboru bazy).

To teraz już chyba jasne, jak dobierzemy wektory bazowe? Ze sformułowania zadania wynika, że chodzi o operator przestrzeni wymiaru 3, dla którego suma wymiarów przestrzeni własnych jest równa 3. To oznacza, że ten operator jest diagonalizowalny - a my wybierzemy taką bazę, w której postać operatora jest diagonalna. Ta baza oczywiście składa się z liniowo niezależnych wektorów własnych tego operatora.

Pierwszym niech będzie dowolny wektor, który jest równoległy do prostej (czyli jej wektor kierunkowy) - np \(\displaystyle{ v_1=[6,3,-2]}\).
Kolejne dwa wektory to będą dowolne wektory, które są równoległe do płaszczyzny. Ponieważ płaszczyzna jest prostopadła do prostej, to wystarczy dobrać dowolne dwa wektory do siebie nierównoległe i takie, żeby iloczyn każdego z nich przez wektor [6,3,-2] był równy 0. No to weźmy np \(\displaystyle{ v_2=[1,0,3],\ v_3=[1,-2,0]}\).

Wówczas w bazie \(\displaystyle{ V=(v_1,v_2,v_3)}\) macierz przekształcenia jest diagonalna i ma postać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-5 & 0 & 0\\ 0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\).

Pozdrawiam.

[loonatic]

Proszę o bardziej elementarne rozwiązanie tego zadania, gdyż na naszym wykładzie algebry liniowej nie pojawiło się jeszcze pojęcie bazy ani operatorów, a tego typu zadanie mamy właśnie rozwiązać.

[BettyBoo]

Proszę o bardziej elementarne rozwiązanie tego zadania, gdyż na naszym wykładzie algebry liniowej nie pojawiło się jeszcze pojęcie bazy ani operatorów, a tego typu zadanie mamy właśnie rozwiązać.

Radzę poszukać dokładniej w notatkach pojęcia bazy, bez tego nie da się nic zrobić w algebrze liniowej (pojęcie zostało na pewno wprowadzone przy okazji przestrzeni liniowych).

Jeśli chodzi o pojęcie operatora liniowego, to jest to po prostu przekształcenie liniowe przestrzeni w samą siebie (dodatkowo przyjmuje się tą samą bazę w dziedzinie i przeciwdziedzinie).

Wg mnie zadanie jest rozwiązane najbardziej elementarnie jak się da - opiera się wyłącznie na zrozumieniu podstawowych pojęć i ich znaczenia geometrycznego. Czego konkretnie nie zrozumiałeś?

Pozdrawiam.

[loonatic]

Z tego, co widzę w skrypcie pojęcie bazy poznamy za kilka wykładów. Dopiero zaczęliśmy przestrzenie \(\displaystyle{ R^n}\). Przestrzenie wektorowe (liniowe) będą nieco wcześniej przed bazą.
Zadanie zostało rozwiązane na konwersatorium, więc już nie potrzebuję wyjaśnienia .