Równanie parametryczne i normalne płaszczyzny

[Messerschmitt]

Napisz równanie parametryczne i normalne płaszczyzny \(\displaystyle{ P(P_0 , \vec{a} , \vec{b} )}\), gdzie:

\(\displaystyle{ P_0 = (1,-1,0), \quad \vec{a}=[0,1,2], \quad \vec{b} = [1,1,1]}\)

Równanie parametryczne.
\(\displaystyle{ Q(q_1 , q_2, q_3)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q_1=1+w \\ q_2=-1+t+w \\ q_3=2t + w\end{cases}}\)

Równanie normalne.
\(\displaystyle{ \vec{a}x\vec{b} = [ \left|\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right|, \left|\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right|, \left|\begin{array}{cc}0&1\\1&1\end{array}\right| ] = [-1,2,-1]}\)

\(\displaystyle{ \vec {P_0Q}=[1-q_1 , -1-q_2 , -q_3]}\)

\(\displaystyle{ <\vec{a}x\vec{b} , \vec{P_0Q}>= [(-1)(1-q_1)+2(-1-q_2)+(-1)(-q_3)]}\)

\(\displaystyle{ q_1-2q_2+q_3-2=0}\)

Czy dobrze rozumuję ?

[sopi]

Równanie parametryczne wygląda dobrze, ale co do równania normalnego to jak patrze na jego definicję ( to mi wychodzi taka płaszczyzna :

\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{\sqrt{6}}{3}y+\frac{\sqrt{6}}{6}z+\frac{\sqrt{6}}{6} = 0}\)