Zadanie brzmi:
Uzasadnij, że jeśli wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) w R^6 tworzą między sobą kąty pi/6 ;P, to układ trzech wektorów {\(\displaystyle{ v_{1}-v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}-2v_{4}}\)} jest liniowo niezależny.
No i dobra, cos kąta między nimi jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\). i wyznacznik tego układu ma być różny od 0.
Ale szczerze mówiąc nie wiem jak się do tego zabrać.
układ liniowo niezależny
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
układ liniowo niezależny
No to zakładam, że mam zbadać układ \(\displaystyle{ v_1-v_2,v_2+v_3,v_3-2v_1.}\)
Dramat rozgrywa się w przestrzeni o wymiarze 6, więc metoda z wyznacznikiem odpada.
Musimy skorzystać z definicji.
Z warunków zadania (kąty między \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) wynika, że wektory te (\(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) są liniowo niezależne.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ v_1-v_2,v_2+v_3,v_3-2v_1}\) są liniowo zależne, czyli \(\displaystyle{ \exists a,b,c \in R \left(a^2+b^2+c^2 \neq 0 \wedge a(v_1-v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3-2v_1)=0 \right) .}\)
Z ostatniego i liniowej niezależności \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) mam
\(\displaystyle{ a(v_1-v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3-2v_1)=(a-2c)v_1+(-a+b)v_2+(b+c)v_3=0 \Leftrightarrow \left(a-2c=0 \wedge -a+b=0 \wedge b+c)=0 \right) \Leftrightarrow a=b=c=0 ,}\)
co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że \(\displaystyle{ \exists a,b,c \in R a^2+b^2+c^2 \neq 0 .}\)
Przypuszczenie, że wektory są liniowo zależne doprowadziło do sprzeczności, a więc okazało się fałszywe. Badane wektory nie są liniowo zalezne.
Dramat rozgrywa się w przestrzeni o wymiarze 6, więc metoda z wyznacznikiem odpada.
Musimy skorzystać z definicji.
Z warunków zadania (kąty między \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) wynika, że wektory te (\(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) są liniowo niezależne.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ v_1-v_2,v_2+v_3,v_3-2v_1}\) są liniowo zależne, czyli \(\displaystyle{ \exists a,b,c \in R \left(a^2+b^2+c^2 \neq 0 \wedge a(v_1-v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3-2v_1)=0 \right) .}\)
Z ostatniego i liniowej niezależności \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)) mam
\(\displaystyle{ a(v_1-v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3-2v_1)=(a-2c)v_1+(-a+b)v_2+(b+c)v_3=0 \Leftrightarrow \left(a-2c=0 \wedge -a+b=0 \wedge b+c)=0 \right) \Leftrightarrow a=b=c=0 ,}\)
co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że \(\displaystyle{ \exists a,b,c \in R a^2+b^2+c^2 \neq 0 .}\)
Przypuszczenie, że wektory są liniowo zależne doprowadziło do sprzeczności, a więc okazało się fałszywe. Badane wektory nie są liniowo zalezne.