macierz odwrotna

[Rolli]

Oblicz macierze odwrotne do macierzy:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&5&7\\6&3&4\\5&-2&-3\end{array}\right]}\)

b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&0&0&4\\0&0&0&1\\0&2&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right]}\)

proszę o podanie rozwiązania krok po kroku
dzięki za pomoc

[BettyBoo]

A czego tu nie potrafisz zrobić? Nie znasz procesu Gaussa-Jordana? Wzoru na macierz odwrotną nie znasz?

Jeśli coś Ci nie wychodzi w rachunkach, to pokaż ile Ci się udało zrobić, sprawdzę czy wszystko jest ok.

Pozdrawiam.

PS Kalkulator oblicza, ale nie podaje sposobu.

[Luxy]

Wiadomo. Sposób to nam daje google. A do sprawdzenia wyniku jest kalkulator.

[Mariusz M]

1. Metoda wyznacznikowa
2. Metoda eliminacji Gaussa
3. Metoda rozkładu LU

Ad 1

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}}{A^{D}}^{T}}\)

Odwrotność wyznacznika pomnożona przez transponowaną macierz dopełnień

\(\displaystyle{ a^{D}_{ij}= \left( -1\right)^{i+j}\det{A_{ij}}}\)

\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz powstała ze skreślenia i-tego wiersza i j-tej kolumny

Ad 2

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[ I|A^{-1}\right]}\)

Odwracaną macierz rozszerzamy o macierz jednostkową
Lewy blok tej macierzy sprowadzamy do postaci macierzy jednostkowej
Gdy lewy blok przyjmie postać macierzy jednostkowej prawy blok przyjmie postać macierzy odwrotnej

Operacje elementarne

1. Dodanie wybranego wiersza do innego wiersza
2. Pomnożenie wiersza przez skalar różny od zera
3. Zamiana wybranych wierszy
4. Skreślenie wiersza jeśli jest kombinacją liniową innych wierszy

Ad 3

Dokonujemy rozkładu macierzy LU=PA
metodą eliminacji Gaussa albo metodą Doolittle ze wzoru na mnożenie macierzy
Rozkładu dokonujemy tylko raz

Rozwiązujemy n układów równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=B_{i} \\ Ux=y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ B_{i}}\) i-ta kolumna macierzy jednostkowej

Kolumny x ustawiamy zgodnie z macierzą permutacji

Metoda ta jest opisana w książce
"Metody numeryczne" Fortuna Macukow