macierz przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Rolli

macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Rolli »

Niech \(\displaystyle{ T:\mathbb{R}3^{} \to \mathbb{R}^{3}}\) będzie przekształceniem liniowym o macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&-1\\1&1&0\\-1&1&1\end{array}\right]}\) w bazie standardowej.
a) Oblicz \(\displaystyle{ T(1,2,3)}\) oraz \(\displaystyle{ T^{2}(3,2,1)}\).
b)Znajdź macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) w bazie \(\displaystyle{ v_1=(1,1,1), v_2=(0,1,1), v_3=(0,0,1)}\).

z góry dzięki za pomoc
będę wdzięczny za napisanie rozwiązania krok po kroku
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

macierz przekształcenia liniowego

Post autor: BettyBoo »

a) jeśli ta macierz przekształcenia oznaczysz przez A, to z definicji macierzy masz, że \(\displaystyle{ T(1,2,3)=A\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ T^2(3,2,1)=A^2\begin{bmatrix}3\\ 2\\ 1\end{bmatrix}}\)

b) Ponieważ kolumnami macierzy zmiany bazy P przy przejściu od bazy standardowej do bazy V są współrzędne wektorów bazy V zapisane kolejno kolumnami, czyli

\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)

to ze wzoru na macierz przekształcenia przy zmianie bazy masz, że szukana macierz B przekształcenia T w bazie V ma postać \(\displaystyle{ B=P^{-1}AP}\). Wystarczy obliczyć macierz odwrotną do P i odpowiednio wymnożyć.




Można to też znaleźć z definicji: kolumnami szukanej macierzy B są obrazy wektorów bazy V przez przekształcenie T zapisane w bazie V:

Możemy sobie zapisać wzór przekształcenia (colatwo zrobić, mając daną macierz w bazie standardowej) - T(x,y,z)= (2x-z, x+y,-x+y+z). No to obliczamy:
T(1,1,1)=(1,2,1), T(0,1,1)=(-1,1,2), T(0,0,1)=(-1,0,1)

Te wektory trzeba zapisać w bazie V to znaczy każdy z nich przedstawić jako kombinację liniową wektorów z V. Można to zrobić równocześnie dla wszystkich trzech wektorów. Tworzymy macierz o 3 wierszach i 6 kolumnach. Pierwsze trzy kolumny tej macierzy to wektory bazy V, a kolejne trzy to ich obrazy przez przekształcenie T:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1&0&0&1&-1&-1\\1&1&0&2&1&0\\1&1&1&1&2&1\end{array}\right]}\)

Teraz wystarczy doprowadzić tą macierz do postaci normalnej. Ponieważ ta część macierzy "po lewej stronie kreski" jest odwracalna, to w postaci normalnej po lewej będzie macierz jednostkowa. Wówczas po prawej masz dokładnie to, czego szukasz, czyli B.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ