równanie stopnia drugiego

[natalia2007]

Dokonać diagonalizacji macierzy odpowiedniej formy kwadratowej ( części kwadratowej równania krzywej ) poprzez przejście do bazy ortonormalnej wektorów własnych.

to jest równanie krzywej \(\displaystyle{ x ^{2} +2xy+y ^{2} + \frac{5 \sqrt{2} }{2} x+ \frac{3 \sqrt{2} }{2} y+5}\)


a to jest część kwadratowa \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1&\\\end{bmatrix}}\).

Czy ktoś może mi wytłumaczyć jak dokonać diagonalizacji macierzy odpowiedniej formy kwadratowej poprzez przejście do bazy ortonormalnej wektorów własnych

[BettyBoo]

Krok 1: wyznacz wartości własne macierzy A; te wartości będą stały na przekątnej w postaci diagonalnej D;

Krok 2: wyznacz odpowiadające im wektory własne;

Krok 3: jeśli dla każdej wartości własnej masz tylko jeden wektor własny, to wystarczy ten wektor znormalizować (tzn podzielić przez jego długość), ponieważ wektory własne związane z różnymi wartościami własnymi są wzajemnie ortogonalne; jeśli dla jakiejś wartości własnej masz więcej niż jeden wektor własny, to najpierw należy wszystkie wektory związane z tą wartością własną zortogonalizować metodą Gramma-Schmidta, a potem otrzymany układ wektorów znormalizować, dzieląc każdy wektor przez jego długość;

Krok 4: wektory otrzymane w kroku 3 wpisujesz kolumnami do macierzy P w takim porządku, w jakim wpisałaś odpowiadające im wartości własne do macierzy D; macierz P jest macierzą przejścia do bazy ortonormalnej, w której macierz A ma postać diagonalną D. Wobec tego macierz P jest macierzą ortogonalną, tzn \(\displaystyle{ P^{-1}=P^T}\) a więc ostatecznie \(\displaystyle{ A=PDP^T}\).

Pozdrawiam.

[natalia2007]

A mam jeszcze pytanie Jak zapisać część kwadratową równania tej krzywej w nowych współrzędnych \(\displaystyle{ x'}\)

[BettyBoo]

Otrzymana macierz diagonalna D jest macierzą części kwadratowej w nowej bazie ortonormalnej. W Twoim przykładzie są dwie wartości własne - 0 i 2, a więc część kwadratowa ma postać \(\displaystyle{ 2(x')^2}\) (y' znika) lub \(\displaystyle{ 2(y')^2}\) (a x' znika) - zależy, w jakiej kolejności sobie wpiszesz te wartości na przekątnej macierzy D.

Pozdrawiam.

[natalia2007]

Mam tutaj inny zapis zamiany części kwadratowej na nowe współrzędne

\(\displaystyle{ \left[x'& y' \right] \begin{bmatrix} 2&0\\0&0\\\end{bmatrix} \left[y' \right] = x' ^{2}}\).

Czy ktoś może mi powiedzieć dlaczego tak, przecież po wymnożeniu tych trzech macierzy nie wychodzi wcale \(\displaystyle{ x' ^{2}}\)

[BettyBoo]

Tych macierzy nie da się wymnożyć. - zapomniałaś o x', powinno być

\(\displaystyle{ \left[x^\prime& y^\prime \right] \begin{bmatrix} 2&0\\0&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x^\prime\\ y^\prime\end{bmatrix} = x' ^{2}.}\)

Pozdrawiam.