Czy operatora jest diagonalizowalny?

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 20 cze 2009, o 11:24

Niech \(\displaystyle{ \mathcal {B}= \left(v_{1},...,v_{n} \right)}\) będzie pewną bazą przestrzeni (V,+,*,R), a f: \(\displaystyle{ V \rightarrow V}\) przekształceniem liniowym takim że \(\displaystyle{ f \left( v_{i} \right) \in \mathcal{L} \left( v_{1},...,v_{i}\right)}\) Czy f jest diagonalizowalny (dlaczego)?

Ja bym to zrobiła tak:
\(\displaystyle{ f \left(v_{1} \right)=a_{11}v_{1}}\)
\(\displaystyle{ f \left(v_{2} \right)=a_{12}v_{1}+a_{22}v_{2}}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ f \left(v_{n} \right)=a_{1n}v_{1}+...+a_{nn}v_{n}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ A=M_{ \mathcal{B}}^{ \mathcal{B}} \left(f \right) =\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&...&a_{3n}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_{nn}\end{array}\right]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ det \left(A-xI \right)= \left(a_{11}-xI\right) \left(A_{22}-xI \right)... \left( a_{nn}-xI\right)}\) (bo trójkątna, czyli iloczyn z diagonali)
Czyli wartości własne, to: \(\displaystyle{ a_{11}, a_{22},...,a_{nn}}\)

Pytanie teraz, czy myślę dobrze, i dalej: czy są one różne? Skąd to wiemy? Jak skończyc to zadanie i czy mam w tym początku coś źle (jak tak, to co)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2009, o 15:13

Jeśli nie ma żadnych dodatkowy założeń na temat odwzorowania (to które masz nie wystarcza), to na temat diagonalizowalności nic nie można powiedzieć. WKW diagonalizowalności jest takie, żeby suma wymiarów przestrzeni własnych (czyli przestrzeni złożonych z wektorów własnych odpowiadających jednej wartości własnej) była równa wymiarowi (przeciw)dziedziny (o diagonalizowalności można w ogołe mówić tylko wtedy, gdy wymiar dziedziny i przeciwdziedziny są takie same).

Rozpatrując Twój warunek można uzyskać zaróno macierze diagonalizowalne jak i nie, np

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\)

nie jest diagonalizowalna (bo to macierz w postaci Jordana, która jest określona jednoznacznie, a postać diagonalna jest jej szczególnym przypadkiem)

natomiast np macierz jednostkowa jest oczywiście macierzą diagonalną tej postaci (a przy tym wcale nie ma różnych wartości własnych).

Zatem ostateczna odpowiedź brzmi: nie można tego stwierdzić na podstawie tych danych.

Pozdrawiam.

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 20 cze 2009, o 15:42

Nie może nie byc rozwiązania - zadanie było dokładnie tak na kolokwium. Chyba, że błąd tkwi w moim rozwązaniu. Jak w takim razie trzeba to zrobic?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2009, o 16:11

Zapisanie przekształcenia za pomocą macierzy jest poprawne, tak samo jak wniosek odnośnie tego, jakie są wartości własne.

Idąc tym tropem dalej, podałam Ci dwa konkretne przykłady spełniające warunki zadania, które dowodzą, że nie ma tu jednoznacznej odpowiedzi - z którym się nie zgadzasz?

Proponuje, żebyś zapytała prowadzącego o rozwiązanie.

Pozdrawiam.

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 20 cze 2009, o 16:39

Czyli za pomocą wartości własnych ustalić się nie da, rozumiem, tak? Natomiast można by pokazać, że sama macierz jest diagonalizowalna. Ostatnią kolumnę zerujemy ostatnim wierszem, przedostatnią przedostatnim itd. I to by było dobrze?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2009, o 17:04

Niezupełnie. Diagonalizowalność nie polega na tym, że przekształceniami elementarnymi działasz na macierzy i otrzymujesz z tego macierz diagonalną.

Operator liniowy jest diagonalizowalny jeśli jego macierz w pewnej bazie jest diagonalna. Wobec tego tę definicję na macierzach można wyrazić tak: macierz A jest diagonalizowalna jeśli istnieje macierz odwracalna P i macierz diagonalna D takie, że \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\) (P jest macierzą zmiany bazy).

Znajomość wartości własnych wystarcza do stwierdzenia diagonalizowalności tylko wtedy, kiedy one są różne. Jeśli masz jakieś wielokrotne wartości własne, to operator może być diagonalizowalny, ale nie musi - WKW podałam w pierwszym poście.

Pozdrawiam.

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 20 cze 2009, o 18:23

No właśnie, czyli tak jak pisałam na początku i pytałam, czy wartości własne są różne. Może da się jakoś uzasadnic, że są? Nie wiem, z tego, że to przekształcenie liniowe, z jakiejś liniowej niezależności, czy coś?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 cze 2009, o 23:36

DoMini1606 pisze:No właśnie, czyli tak jak pisałam na początku i pytałam, czy wartości własne są różne. Może da się jakoś uzasadnic, że są? Nie wiem, z tego, że to przekształcenie liniowe, z jakiejś liniowej niezależności, czy coś?

Nie z tego warunku, który masz - on oznacza tylko tyle, że macierz tego przekształcenia w pewnej bazie jest górnotrójkątna, a to za mało.

Pozdrawiam.