wzór macierzy A do n

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matemmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 13 cze 2009, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

wzór macierzy A do n

Post autor: matemmm »

Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na \(\displaystyle{ A ^{n}}\) dla macierzy
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}}\)
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Awatar użytkownika
acmilan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 50 razy

wzór macierzy A do n

Post autor: acmilan »

Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana \(\displaystyle{ A_{J}}\).
Czyli liczymy wartości własne: \(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0}\)
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}}\)
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}}\)

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A_{J}}\):
\(\displaystyle{ A=C^{-1} A_{J} C}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\)-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
\(\displaystyle{ A^{n}=C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot ... \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C=C^{-1} A_{J}^{n} C}\)
Wektory własne to \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (3,4)}\), więc:
\(\displaystyle{ C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}}\), o ile nigdzie się nie pomyliłem.
ODPOWIEDZ