Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na \(\displaystyle{ A ^{n}}\) dla macierzy
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}}\)
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..
proszę o pomoc..
wzór macierzy A do n
- acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
wzór macierzy A do n
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana \(\displaystyle{ A_{J}}\).
Czyli liczymy wartości własne: \(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0}\)
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}}\)
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}}\)
Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A_{J}}\):
\(\displaystyle{ A=C^{-1} A_{J} C}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\)-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
\(\displaystyle{ A^{n}=C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot ... \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C=C^{-1} A_{J}^{n} C}\)
Wektory własne to \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (3,4)}\), więc:
\(\displaystyle{ C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}}\), o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Czyli liczymy wartości własne: \(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0}\)
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}}\)
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}}\)
Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A_{J}}\):
\(\displaystyle{ A=C^{-1} A_{J} C}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\)-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
\(\displaystyle{ A^{n}=C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot ... \cdot C^{-1} A_{J} C \cdot C^{-1} A_{J} C=C^{-1} A_{J}^{n} C}\)
Wektory własne to \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (3,4)}\), więc:
\(\displaystyle{ C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}}\), o ile nigdzie się nie pomyliłem.