wyznacznik macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 1196
- Rejestracja: 6 lis 2007, o 14:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 1 raz
wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-2&1&-1\\2&1&1&0&2\\3&1&-1&1&1\\0&-2&1&2&-1\\1&-1&0&-2&1\end{bmatrix}}\)
jak mam obliczyc wyznacznik??
jak mam obliczyc wyznacznik??
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ det M=det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}
=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|.}\)
Rozwinięcie Laplace'a
Jeżeli \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą taką jak wyżej oraz i jest liczbą naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ n}\), to zachodzą równości
\(\displaystyle{ |M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{il}|M_{i,l}|}\). (rozwinięcie wyznacznika względem \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza)
oraz
\(\displaystyle{ |M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{li}|M_{l,i}|.}\) (rozwinięcie wyznacznika względem \(\displaystyle{ i}\)-tej kolumny).
=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|.}\)
Rozwinięcie Laplace'a
Jeżeli \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą taką jak wyżej oraz i jest liczbą naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ n}\), to zachodzą równości
\(\displaystyle{ |M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{il}|M_{i,l}|}\). (rozwinięcie wyznacznika względem \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza)
oraz
\(\displaystyle{ |M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{li}|M_{l,i}|.}\) (rozwinięcie wyznacznika względem \(\displaystyle{ i}\)-tej kolumny).
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}
1&0&-2&1&-1 \\
2&1&1&0&2 \\
3&1&-1&1&1 \\
0&-2&1&2&-1 \\
1&-1&0&-2&1 \end{bmatrix}
= \begin{matrix}
w_2 + (-2)\cdot w_1 \\
w_3 + (-3)\cdot w_1 \\
w_5 + (-1)\cdot w_1 \end{matrix}
= \det \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & -2 & 1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 & -3 & 2
\end{bmatrix} = \\
= w_2 + (-1)\cdot w_3 =
\det \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & -2 & 1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 & -3 & 2
\end{bmatrix} = 0}\)
Wyjaśnienie zapisu: \(\displaystyle{ w_2 + (-2)\cdot w_1}\) oznacza, że do wiersza drugiego dodaję wiersz pierwszy pomnożony przez (-2).
Ech, nawet rozwinięcie Laplace'a się nie przydało
1&0&-2&1&-1 \\
2&1&1&0&2 \\
3&1&-1&1&1 \\
0&-2&1&2&-1 \\
1&-1&0&-2&1 \end{bmatrix}
= \begin{matrix}
w_2 + (-2)\cdot w_1 \\
w_3 + (-3)\cdot w_1 \\
w_5 + (-1)\cdot w_1 \end{matrix}
= \det \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & -2 & 1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 & -3 & 2
\end{bmatrix} = \\
= w_2 + (-1)\cdot w_3 =
\det \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 5 & -2 & 4 \\
0 & -2 & 1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 & -3 & 2
\end{bmatrix} = 0}\)
Wyjaśnienie zapisu: \(\displaystyle{ w_2 + (-2)\cdot w_1}\) oznacza, że do wiersza drugiego dodaję wiersz pierwszy pomnożony przez (-2).
Ech, nawet rozwinięcie Laplace'a się nie przydało