Prosilbym o pomoc w rozwiazaniu zadania:
Niech \(\displaystyle{ T = R ^{4} \rightarrow R[x ]_{2}}\) będzie odwzorowaniem liniowym zadanym wzorem :
\(\displaystyle{ a) T (a ) = (a _{1} + 3a _{2} + a_{4} ) + ( a _{1} + a _{2} - a_{3} + 2a _{4} ) x + (− a_{1}+ a _{2} + 2a_{3} - 3a _{4} ) x ^{2}}\) , gdzie
\(\displaystyle{ a =
\left[ a1,
a2,
a3,
a4\right] \in R^{4}}\)
b) Utwórz macierze odwzorowań T i T * w bazach standardowych obu przestrzeni (tzn. zero-
jedynkowej i jednomianowej oraz odpowiednio dualnych do nich). Znajdź bazy wszystkich
4 przestrzeni fundamentalnych dla odwzorowania T.
c) Pokaz wynik dzialania I wektora bazy Im T* ( odpowiednio KerT *) na wektorze \(\displaystyle{ e_{1} + 2e_{2} + 3e_{3} + 4e_{4}}\) ( odpowiednio \(\displaystyle{ 1 +2x + 3x^{2}}\) )
i jeszcze jedno
2. Na przestrzeni \(\displaystyle{ V = R[x]_{2}}\) jest forma dwuliniowa \(\displaystyle{ < \cdot , \cdot > : V^{2} -> R}\) , zadana wzorem \(\displaystyle{ <f,g> = \int_{-1}^{} f(t)g(t)dt}\). Wyznacz:
a) Macierz formy \(\displaystyle{ <\cdot,\cdot>}\) w bazie \(\displaystyle{ (1,x,x^{2})}\) i uzywajac jej sprawdz czy \(\displaystyle{ <\cdot ,\cdot>}\) jest iloczynem skalarnym.
b) dowolna macierz ortagonalna \(\displaystyle{ V}\) wzgledem \(\displaystyle{ <\cdot,\cdot>}\)
c) baze uzupelnieniowa ortagonalna \(\displaystyle{ W+}\) dla podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\) generowanej przez wielomian \(\displaystyle{ 5+4x+5x^{2}}\)