Równanie macierzowe

[mistque]

\(\displaystyle{ X \cdot X^T = X^2 + \left[\begin{array}{ccc}1&-3\\1&0\end{array}\right]}\)

Co to jest \(\displaystyle{ X^T}\) ??? Jak roziwązać takie równanie?

[Szemek]

mistque, \(\displaystyle{ X^T}\) oznacza

Ja rozwiązałbym to zadanie następująco:

Z równania widać, że \(\displaystyle{ X}\) to macierz rozmiaru \(\displaystyle{ 2\times 2}\)
Niech:
\(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ X \cdot X^T = X^2 + \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & c-b \\ b-c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} b (b-c) & a (-b+c) \\ (b-c) d & c (-b+c) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{cases} b (b-c) = 1 \\ a (-b+c) = -3 \\ (b-c) d = 1 \\ c (-b+c) = 0 \end{cases}}\)
Z ostatniego równania mamy: \(\displaystyle{ c=0 \vee (-b+c=0 \to b=c)}\)
Druga możliwość odpada, bo wszędzie musiałyby być zera.
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2 = 1 \\ ab = 3 \\ bd = 1 \\ c=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a=-3 \\ b=-1 \\ c=0 \\ d=-1 \end{cases} \vee \begin{cases} a=3 \\ b=1 \\ c=0 \\ d=1 \end{cases}}\)