Dany jest operator liniowy...
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 6 paź 2007, o 13:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wodzisław
- Podziękował: 14 razy
Dany jest operator liniowy...
Dany jest operator liniowy \(\displaystyle{ A: R^{3} \rightarrow R^{3} A(x _{1},x _{2},x _{3})=(2x _{1}+x _{2}, -3x _{1}+ 6x _{2},7x _{3})}\) Wyznacz wartości własne i wektory własne tego poeratora.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Dany jest operator liniowy...
Macierz operatora jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right]}\).
Mamy
Wyznaczmy teraz wektory własne \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) odpowiadające kolejnym znalezionym wartościom własnym.
Mamy \(\displaystyle{ 0=(A-3I)\vec{u}=\left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ u_1=u_2}\) oraz \(\displaystyle{ u_3=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{u}=u_1\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ u_1\neq 0}\).
Podobnie mamy \(\displaystyle{ 0=(A-5I)\vec{v}=\left[ \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ 3v_1=v_2}\) oraz \(\displaystyle{ v_3=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{v}=v_1\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ v_1\neq 0}\).
Wreszcie, mamy \(\displaystyle{ 0=(A-7I)\vec{w}=\left[ \begin{array}{ccc} -5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ w_3\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\) oraz \(\displaystyle{ w_1=w_2=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{w}=w_3\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ w_3\neq 0}\).
Mamy
\(\displaystyle{ 0=\det (A-\lambda I)=\left| \begin{array}{ccc} 2-\lambda & 1 & 0 \\ -3 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 7-\lambda \end{array} \right|=(2-\lambda)(6-\lambda)(7-\lambda)+3(7-\lambda)=(7-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+15)=(7-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-5),}\)
więc liczby 3, 5 i 7 są wartościami własnymi operatora A.Wyznaczmy teraz wektory własne \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) odpowiadające kolejnym znalezionym wartościom własnym.
Mamy \(\displaystyle{ 0=(A-3I)\vec{u}=\left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ u_1=u_2}\) oraz \(\displaystyle{ u_3=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{u}=u_1\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ u_1\neq 0}\).
Podobnie mamy \(\displaystyle{ 0=(A-5I)\vec{v}=\left[ \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ 3v_1=v_2}\) oraz \(\displaystyle{ v_3=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{v}=v_1\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ v_1\neq 0}\).
Wreszcie, mamy \(\displaystyle{ 0=(A-7I)\vec{w}=\left[ \begin{array}{ccc} -5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right]}\), skąd \(\displaystyle{ w_3\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\) oraz \(\displaystyle{ w_1=w_2=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \vec{w}=w_3\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ w_3\neq 0}\).