Dla jakich wartości a wektory tworzą baze...

[julietta_m_18]

Dane są wektory \(\displaystyle{ x_{1}=(-1,1,1,1) , x_{2}=(1,-1,1,1) , x_{3}=(1,1,-1,1) , x_{4}=(1,1,1,a)}\) Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) te wektory towrzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\)?

[lukasz1804]

Łatwiej zadać pytanie przeciwne: kiedy dane wektory nie tworzą bazy? - Wtedy, gdy wyznacznik macierzy z nich utworzonej jest równy zeru. Mamy

\(\displaystyle{ 0=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & a-1\end{array}\right|=1\cdot (-1)^{3+2}\cdot\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a-1 \end{array}\right|=-[8-4(a-1)]=4(a-1)-8=4(a-3)}\)

, skąd \(\displaystyle{ a=3}\).
Zatem dla \(\displaystyle{ a\neq 3}\) układ wektorów \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)}\) tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

[julietta_m_18]

Łatwiej zadać pytanie przeciwne: kiedy dane wektory nie tworzą bazy? - Wtedy, gdy wyznacznik macierzy z nich utworzonej jest równy zeru. Mamy

\(\displaystyle{ 0=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & a-1\end{array}\right|=1\cdot (-1)^{3+2}\cdot\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2? & a-1 \end{array}\right|=-[8-4(a-1)]=4a-12}\)

, skąd \(\displaystyle{ a=3}\).
Zatem dla \(\displaystyle{ a\neq 1}\) układ wektorów \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)}\) tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

w ostatnim wyznaczniku tam się pomyliłeś zamiast 0 powinno być 2 i wychodzi wtedy wychodzi a=3 czyli wtedy zapisuje dla \(\displaystyle{ a\neq 1 \ czy \ od \ 3 ?}\) i czy dalej tworzy tą baze?

[lukasz1804]

Tak, pomyliłem się. Dziękuję za zwrócenie uwagi. Już poprawiłem swój post.
Dla \(\displaystyle{ a\neq 3}\) dane wektory tworzą bazę, gdyż wyznacznik rozważanej macierzy jest różny od zera, co oznacza, że wektory te są liniowo niezależne.