Macierze - rząd macierzy, macierz odwrotna

[seb235]

Witam

Potrzebuje od was pomocy mianowicie aby ktoś mi pomógł obliczyć rząd macierzy z :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & 6 & 0 \\
1 & 3 & 0 \\
-1 & 3 & 1 \end{bmatrix}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}}\)

oraz jak obliczyć macierz odwrotną do np :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}\)

Potrzebuje aby ktoś mi to obliczył i chodziarz mniej więcej wytłumaczył jak się do tego zabrać, z góry dzięki.

[bedbet]

Popraw zapis.

[agulka1987]

Rząd macierzy jest równy najwiekszemu niezerowemu minorowi

1.

\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix}2&6&0\\1&3&0\\-1&3&1\end{nmatrix} = 0}\) ponieważ wyznacznik najwiekszego mozliwego minora 3x3 = 0 więc rzad macierzy jest mniejszy od 3.

Sprawdzamy teraz minory 2x2 w tym przypadku jest ich chyba 9

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix}2&6\\1&3\end{bmatrix} = 0}\)

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix}6&0\\3&0\end{bmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix}1&3\\-1&3\end{bmatrix} = 6}\) mamy niezerowy minor stopnia 2 tak wiec rzad tej macierzy =2


mozna to równiez zrobić za pomocą eliminacji Gaussa

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&6&0\\1&3&0\\-1&3&1\end{nmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}- \frac{1}{2}W_{1}, W_{3}+ \frac{1}{2}W_{1} = \begin{bmatrix}2&6&0\\0&0&0\\0&6&1\end{nmatrix}}\) jeden z wierszy wyzerował się a powtarzanie operacji nic nie wniesi tak wiec rzad macierzy = 2


2.

macierz ma wymiar 2x4 tak więc najwiekszym niezerowym minorem może byc 2, bierzemy pierwszy lepszy z brzegu i sprawdzamy

detegin{bmatrix}1&3\2&1end{bmatrix} = -5 czyli \(\displaystyle{ Rz=2}\)-- 16 czerwca 2009, 17:50 --3.
Jeden ze sposobów:
Macierz główna rozszerzamy o macierz jednostkową i za pomoca przekształceń elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej doprowadzamy do powstania po lewej stronie macierzy jednostkowej a z prawej strony powstanie macierz odwrotna


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&0 \left|1&0&0\\2&3&1\left|0&1&0\\1&1&1\left|0&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1} = \begin{bmatrix}1&-1&0 \left|1&0&0\\0&5&1\left|-2&1&0\\0&2&1\left|-1&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2} \cdot \frac{1}{5}, W_{3} \cdot \frac{1}{2} = \begin{bmatrix}1&-1&0 \left|1&0&0\\0&1& \frac{1}{5} \left|- \frac{2}{5} & \frac{1}{5} &0\\0&1& \frac{1}{2} \left|- \frac{1}{2} &0& \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{1}+W_{2}, W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&0& \frac{1}{5} \left| \frac{3}{5} & \frac{1}{5} &0\\0&1& \frac{1}{5} \left|- \frac{2}{5} & \frac{1}{5} &0\\0&0& \frac{3}{10} \left|- \frac{1}{10} &- \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3} \cdot \frac{10}{3} = \begin{bmatrix}1&0& \frac{1}{5} \left| \frac{3}{5} & \frac{1}{5} &0\\0&1& \frac{1}{5} \left|- \frac{2}{5} & \frac{1}{5} &0\\0&0& 1\left|- \frac{1}{3} &- \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{1}- \frac{1}{5}W_{3}, W_{2} - \frac{1}{5}W_{3} = \begin{bmatrix}1&0& 0 \left| \frac{2}{3} & \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} \\0&1& 0 \left|- \frac{1}{3} & \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} \\0&0& 1\left|- \frac{1}{3} &- \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} \\- \frac{1}{3} & \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} \\- \frac{1}{3} &- \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}}\)

[seb235]

Ja mam pytanie czy w 3 w drugiej linijce w pierwszej macierzy nie powinno być 4 zamiast 5 ?

[gosis]

Macierz jest dobra. Ma być 5. Tyle, że błąd jest w zapisie działania, zamiast W2-W1 ma być W2-2W1.

[agulka1987]

Nie.

Do 2 wiersza dodajemy wiersz 1 pomnozony przez (-2) tak więc (-1)*(-2)+3 = 2+3=5

[seb235]

Mam takie pytanko jak szybko obliczyć wyznacznik macierzy 4x4 :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
4 & 3 & 9 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 2\\
3 & 5 & 5 & 2\\
2 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}}\)

Prosze o szybką odpowiedź z pokazaniem krok po kroku, interesuje mnie aby metoda była możliwie najszybsza

[miodzio1988]

Rozwiniecie Laplace'a albo operacje na wierszach(do postaci trojkatnej gornej/dolnej)

[seb235]

A mógłby mi ktoś wytłumaczyć rozwinięcie LaPlacea ?

[miodzio1988]

A google do czego sluzy? Tam masz wszystko wytlumaczone. Odsylam do wiki. POczytaj i wtedy zadawaj pytania

[seb235]

To ma tylko taką prośbe może ktoś mi podać ile wynosi jej wyznacznik bo już mi kilka odpowiedzi wyszło ?

[miki999]

Tutaj masz przydatny kalkulator:

Znajduje się tam "Matrix calculator"- wystarczy wstukać.
Lub:
https://matematyka.pl/kalkulator.html

Łatwo można weryfikować wyniki.



Pozdrawiam.

[miodzio1988]

Licząc w glowie wyszlo mi \(\displaystyle{ -6}\), ale to liczone bylo w glowie. Pokaz jak licyles ten wyznacznik to chętnie to sprawdzę.

[miki999]

Licząc w glowie wyszlo mi \(\displaystyle{ -6}\), ale to liczone bylo w glowie. Pokaz jak licyles ten wyznacznik to chętnie to sprawdzę.

Potrafisz liczyć wyznaczniki macierzy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) w pamięci? Odejmuję sobie tę połówkę, co dzisiaj sobie przyznałem -ja taki kozak nie jestem.

edit.:
Kalkulator mówi, że powinno wyjść \(\displaystyle{ -5}\).


Pozdrawiam.

[seb235]

Mi kalkulator wyliczył -5 także