forma dwuliniowa a macierz formy

[inzbartosz]

Mam takie zadanie:
Zad.2. Niech bedzie dana forma dwuliniowa rzeczywista w pewnej bazie B1 = {e1, e2, e3} przestrzeni R3 postaci
\(\displaystyle{ phi_(v,w) = x_{1}y_{1} + 3x_{1}y_{2} − 4x_{1}y_{3} + 2x_{2}y_{1} − 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1}}\)
Napisac macierz tej formy w bazie B, a nastepnie wyznaczyc macierz formy w bazie
B2 = {e1 + e2 + e3, e1 + e3, e1 + 2e2}.

i mnie wyszlo cos takiego:

\(\displaystyle{ B_{1}= \left[\begin{array}{ccc}1&3&-4\\2&0&-2\\1&0&0\end{array}\right]}\)
i te druga po prostu przez dodanie odpowiednich wierszy z B1.
\(\displaystyle{ B_{2}= \left[\begin{array}{ccc}4&3&-6\\2&3&-4\\5&3&-8\end{array}\right]}\)

Czy tak to sie robi i czy nie mam gdzies bledu? Niestety mam liste bez odpowiedzi, a sam jestem z tego zielony, wiec prosze o wskazowke mozliwie prosta.

i przy okazji znacie moze jakies dobre zrodlo wiedzy na ktorys z tematow:
funkcjonały i formy dwuliniowe
metoda Lagrange'a
macierze przejscia
metoda Jacobiego
okreslanie macierzy(dodatnio,ujemnie itd)?

kurde... sie cos pomylilem, chcialem w dziale algebra liniowa to umiescic...

[darlove]

Mam takie zadanie:
Zad.2. Niech bedzie dana forma dwuliniowa rzeczywista w pewnej bazie B1 = {e1, e2, e3} przestrzeni R3 postaci
\(\displaystyle{ phi_(v,w) = x_{1}y_{1} + 3x_{1}y_{2}-4x_{1}y_{3} + 2x_{2}y_{1}-2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1}}\)
Napisac macierz tej formy w bazie B, a nastepnie wyznaczyc macierz formy w bazie
B2 = {e1 + e2 + e3, e1 + e3, e1 + 2e2}.

i mnie wyszlo cos takiego:

\(\displaystyle{ B_{1}= \left[\begin{array}{ccc}1&3&-4\\2&0&-2\\1&0&0\end{array}\right]}\)
i te druga po prostu przez dodanie odpowiednich wierszy z B1.
\(\displaystyle{ B_{2}= \left[\begin{array}{ccc}4&3&-6\\2&3&-4\\5&3&-8\end{array}\right]}\)

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{P}_{2\to 1}}\) bedzie macierza przejscia z bazy \(\displaystyle{ B_2}\) do bazy \(\displaystyle{ B_1}\) (oczywiscie, \(\displaystyle{ \mathbb{P}_{1\to 2}=(\mathbb{P}_{2\to 1})^{-1}}\)). Niech \(\displaystyle{ \vec{v}^{(i)}}\) oznacza wektor zapisany w bazie \(\displaystyle{ B_{i}}\). Niech \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{1}}\) bodzie macierza wyznaczajaca forme w bazie \(\displaystyle{ B_1}\). Twoja forma zadana jest wzorem (wektory sa - przypominam - kolumnowe):

\(\displaystyle{ (\vec{v}^{(1)})^{T}\mathbb{F}_{1}\vec{w}^{(1)}=\\
(\mathbb{P}_{2\to 1}\vec{v}^{(2)})^{T}\mathbb{F}_{1}(\mathbb{P}_{2\to 1}\vec{w}^{(2)})=\\
(\vec{v}^{(2)})^{T}(\mathbb{P}_{2\to 1}^{T}\mathbb{F}_{1}\mathbb{P}_{2\to 1})\vec{w}^{(2)}.}\)

i jak widac macierz formy dwuliniowej w drugiej bazie jest rowna:

\(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}=\mathbb{P}_{2\to 1}^{T}\mathbb{F}_{1}\mathbb{P}_{2\to 1}.}\)

Wystarczy policzyc te macierze i je pomnozyc.

-- 15 czerwca 2009, 20:03 --

Dokladniej Ci to rozpisze:

Najpierw znajduje macierz przejscia z bazy 2 do 1. Wektory bazy 2 maja taki zapis w bazie 1:

\(\displaystyle{ \vec{u}_1=1\cdot\vec{e}_1+1\cdot\vec{e}_2+ 1\cdot\vec{e}_3 = (1,1,1)\\
\vec{u}_2=(1,0,1)\\
\vec{u}_3=(1,2,0).}\)

z czego wynika, ze macierz przejscia z bazy 2 do 1 jest rowna:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}_{2\to 1}=\left[\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&0&2\\
1&1&0
\end{array}\right].}\)

Zatem, zgodnie z naszym wzorem na zamiane formy, bedziemy mieli:

\(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&0&2\\
1&1&0
\end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{ccc}
1&3&-4\\
2&0&-2\\
1&0&0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&0&2\\
1&1&0
\end{array}\right]= \left[ \begin {array}{ccc} 1&-2&10\\\noalign{\medskip}1&-2&8
\\\noalign{\medskip}0&-3&11\end {array} \right]
.}\)

Nasza forma przyjmuje postac:

\(\displaystyle{ \phi'(u,v)=\left[ \begin {array}{c} u_{{1}}\\\noalign{\medskip}u_{{2}}
\\\noalign{\medskip}u_{{3}}\end {array} \right]^{T}\left[ \begin {array}{ccc} 1&-2&10\\\noalign{\medskip}1&-2&8
\\\noalign{\medskip}0&-3&11\end {array} \right]
\left[ \begin {array}{c} v_{{1}}\\\noalign{\medskip}v_{{2}}
\\\noalign{\medskip}v_{{3}}\end {array} \right]=\\
=v_{{1}}u_{{1}}+v_{{1}}u_{{2}}-2\,v_{{2}}u_{{1}}-2\,v_{{2}}u_{{2}}-3\,v_{{2}}u_{{3}}+10\,v_{{3}}u_{{1}}+8\,v_{{3}}u_{{2}}+11\,v_{{3}}u_{{3}}}\)

[inzbartosz]

dzieki wielkie, szczegolnie za ten edit teraz wszystko jest na ten temat jasne