1/ Rozwiąż równanie metodą Cramera
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y+2z=5 \\ x+2y-z=2 \\ -x+y+z=1 \end{cases}}\)
2/ Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ A \cdot x = B}\)
gdzie
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&2 \\ -10 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 3&-1&-1 \\ -1&-1&1 \end{bmatrix}}\)
3/ Wyznaczyć rząd macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&3 \\ 2&5 \end{bmatrix}}\)
jestem noga z matematyki, a muszę to zdać, proszę o ściągę na kolokwium, z góry baaaaaaaaardzo dziękuję za pomoc
poprawka kolokwium
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
poprawka kolokwium
Wzór Cramera \(\displaystyle{ x_{i} = \frac{detA_{i}}{detA}}\) gdzie \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)
W pierwszej kolejnosci liczysz wyznacznik macierzy głównej. jeżeli jest rózny od 0 to wówczas liczysz wyznaczniki macierzy pomocniczych zastepujac kolejno kolumny kolumna składajaca sie z wyników
\(\displaystyle{ detA = \begin{bmatrix}2&1&2\\1&2&-1\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4+1+2+4+2-1 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{x} = \begin{bmatrix}5&1&2\\2&2&-1\\1&1&1\end{bmatrix} = 10-1+4-4+5-2 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{y} = \begin{bmatrix}2&5&2\\1&2&-1\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4+5+2+4+2-5 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{z} = \begin{bmatrix}2&1&5\\1&2&2\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4-2+5+10-4-1 = 12}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{detA_{x}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{detA_{y}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{detA_{z}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
2.
\(\displaystyle{ A \cdot X=B}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1} \cdot B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix}0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}}\)
3. Rzad macierzy = 2
W pierwszej kolejnosci liczysz wyznacznik macierzy głównej. jeżeli jest rózny od 0 to wówczas liczysz wyznaczniki macierzy pomocniczych zastepujac kolejno kolumny kolumna składajaca sie z wyników
\(\displaystyle{ detA = \begin{bmatrix}2&1&2\\1&2&-1\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4+1+2+4+2-1 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{x} = \begin{bmatrix}5&1&2\\2&2&-1\\1&1&1\end{bmatrix} = 10-1+4-4+5-2 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{y} = \begin{bmatrix}2&5&2\\1&2&-1\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4+5+2+4+2-5 = 12}\)
\(\displaystyle{ detA_{z} = \begin{bmatrix}2&1&5\\1&2&2\\-1&1&1\end{bmatrix} = 4-2+5+10-4-1 = 12}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{detA_{x}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{detA_{y}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{detA_{z}}{detA} = \frac{12}{12}=1}\)
2.
\(\displaystyle{ A \cdot X=B}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1} \cdot B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix}0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}}\)
3. Rzad macierzy = 2
poprawka kolokwium
Agulka bardzo, bardzo Ci dziękuję, ale jeśli możesz to napisz jak wyznaczyłaś ten rząd macierzy i jeśli możesz to rozwiąż jeszcze to zadanie, jeśli nie to nie będę miała żalu, bo i tak już mi pomogłaś i trochę mnie oświeciłaś
1/ To było aż za 5 pkt. (i wiem, że tu nie można zastosować Cramera) - Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=0 \\ x+y+2z=0 \\ x-2y-z=0 \\ 3x-y+2z=0 \end{cases}}\)
pozdrawiam (jak zdam to napewno Ci napiszę)
1/ To było aż za 5 pkt. (i wiem, że tu nie można zastosować Cramera) - Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=0 \\ x+y+2z=0 \\ x-2y-z=0 \\ 3x-y+2z=0 \end{cases}}\)
pozdrawiam (jak zdam to napewno Ci napiszę)
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
poprawka kolokwium
Masz rację, tutaj nie zastosujemy wzoru Cramera (dotyczy on tylko macierzy kwadratowych) lecz eliminację GAUSSA
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\1&1&2\left|0\\1&-2&-1 \left|0\\3&-1&2 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1}, W_{4}-3W_{1} = \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\0&1&1\left|0\\0&-2&-2 \left|0\\0&-1&-1 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3}+2W_{2}, W_{4}+W_{2} = \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\0&1&1\left|0\\0&0&0 \left|0\\0&0&0 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3} \ i \ W_{4}}\) wyzerowały się, więc rzad macierzy \(\displaystyle{ RzA=2}\), rząd macierzy uzupełnionej \(\displaystyle{ Rz[A|b] też jest = 2}\). Układ posiada 3 niewiadome a wiec jest to układ nioznaczony - posiada nieskończenie wiele rozwiazań zaleznych od 1 parametru (ilość parametrów to różnica pomiedzy iloscia niewiadomych a rzędem macierzy głownej).
Za niewiadomą \(\displaystyle{ z}\) podstawiamy jakis parametr np. \(\displaystyle{ p}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=p \\ y+p=0 \Rightarrow y=-p \\ x+p=0 \Rightarrow x=-p \end{cases}}\)
Co do zad 3. Rzad macierzy mozemy określić szukajac najwiekszego niezerowego minora lub stosujac eliminacje Gaussa tak jak w powyższym przykładzie
pozdrawiam i życzę powodzenia
P.S A można wiedzieć gdzie i co studiujesz?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\1&1&2\left|0\\1&-2&-1 \left|0\\3&-1&2 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1}, W_{4}-3W_{1} = \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\0&1&1\left|0\\0&-2&-2 \left|0\\0&-1&-1 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3}+2W_{2}, W_{4}+W_{2} = \begin{bmatrix}1&0&1 \left|0\\0&1&1\left|0\\0&0&0 \left|0\\0&0&0 \left|0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W_{3} \ i \ W_{4}}\) wyzerowały się, więc rzad macierzy \(\displaystyle{ RzA=2}\), rząd macierzy uzupełnionej \(\displaystyle{ Rz[A|b] też jest = 2}\). Układ posiada 3 niewiadome a wiec jest to układ nioznaczony - posiada nieskończenie wiele rozwiazań zaleznych od 1 parametru (ilość parametrów to różnica pomiedzy iloscia niewiadomych a rzędem macierzy głownej).
Za niewiadomą \(\displaystyle{ z}\) podstawiamy jakis parametr np. \(\displaystyle{ p}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=p \\ y+p=0 \Rightarrow y=-p \\ x+p=0 \Rightarrow x=-p \end{cases}}\)
Co do zad 3. Rzad macierzy mozemy określić szukajac najwiekszego niezerowego minora lub stosujac eliminacje Gaussa tak jak w powyższym przykładzie
pozdrawiam i życzę powodzenia
P.S A można wiedzieć gdzie i co studiujesz?
poprawka kolokwium
Bardzo Ci dziękuję za pomoc, a studiuję zarządzanie i marketing (rachunkowość i finanse ue) w sosnowcu, matematyki nie trawię, ale zdać niestety trzeba, mam nadzieję, że będziesz miała ochotę jeszcze kiedyś mi pomóc, napiszę Ci czy zaliczyłam, pozdrawiam