Znalezc macierz

[Czarny89]

Prosilbym o wskazowke jak rozwiazac ponizsze zadanie, a jezeli bylby ktos uprzejmy to nie pogardzilbym rozwiazaniem.

Znalezc macierz diagonalna D oraz macierz C, takie, że:
\(\displaystyle{ A = C \cdot D \cdot C ^{-1}}\)
dla danych macierzy A:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&2&2\\-1&0&2&-4\\-1&-2&4&-3\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Z gory za pomoc dziekuje.

[BettyBoo]

Elementami na przekątnej szukanej macierzy diagonalnej \(\displaystyle{ D=[d_{ij}]}\) są wartości własne macierzy A, natomiast kolumnami szukanej macierzy C są wektory własne odpowiadające kolejnym wartościom własnym macierzy A.

Jeśli \(\displaystyle{ d_{ii}=a}\), to i-ta kolumna macierzy C jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej a.

Pozdrawiam.

[fon_nojman]

BettyBoo dlaczego tak ma być? Z jakiegoś twierdzenia?

Próbowałem policzyć wartości własne, wychodzi \(\displaystyle{ 1}\) i jakieś paskudztwa (chyba trzeba ze wzorów Cardano).

Pytam się bo znam tylko takie standardowe tw o diagonalizacji dla macierzy symetrycznych (hermitowskich).

[Czarny89]

Dzieki za pomoc.
Ponizej przedstawiam rozwiazanie tego przykladu (jesli zle to prosilbym o uwage):

\(\displaystyle{ A = k \cdot E}\)

\(\displaystyle{ A - k \cdot E = 0}\)

\(\displaystyle{ det(A - k \cdot E) = \left[\begin{array}{cccc}1 - k &-2&2&2\\-1&- k&2&-4\\-1&-2&4 - k&-3\\0&0&0&1 - k\end{array}\right] =}\)
\(\displaystyle{ = (1 - k) \cdot (-1) ^{8} \cdot \left[\begin{array}{ccc}1 - k &-2&2\\-1&- k&2\\-1&-2&4 - k\end{array}\right] = (1 - k) \left[\begin{array}{ccc}1 - k &-2&2\\0&- k +2&-2 + k\\-1&-2&4 - k\end{array}\right] =}\)
\(\displaystyle{ = (1 - k) \left[\begin{array}{ccc}1 - k &0&2\\0&0&-2 + k\\-1&2 - k&4 - k\end{array}\right] = (1 - k) (-2 + k) (-1) ^{5} \left[\begin{array}{cc}1 - k &0\\-1&2-k\end{array}\right] = ... = (k -2) ^{2} (k - 1) ^{2}}\)


dla k = 2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1 &-2&2&2\\-1&- 2&2&-4\\-1&-2&4 - 2&-3\\0&0&0&-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1 &2\\-1&-4\\-1&-3\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x \\y\\z\\t\end{array}\right]}\)
no i z tego wynika, ze uklad zalezy od dwoch parametrow
\(\displaystyle{ x=0 \\y=y \\z=z \\t=0}\)
\(\displaystyle{ Lin ((0,1,0,0),(0,0,1,0))}\)

analogicznie postepujemy z k = 1

i wyszlo mi:
\(\displaystyle{ Lin ((1,1,1,0),(-5,1,0,1))}\)

Więc macierz C:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&1&-5\\1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Nie wiem czy macierz D zrobilem dobrze bo mam po dwa parametry 1 i 2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

i jak kolejnosc sie uklada w tej macierzy ? czy to nie ma znaczenia?

[BettyBoo]

BettyBoo dlaczego tak ma być? Z jakiegoś twierdzenia?

Tak - postać diagonalna to szczególny przypadek postaci Jordana macierzy.

i jak kolejnosc sie uklada w tej macierzy ? czy to nie ma znaczenia?

Nie ma znaczenia (postać diagonalna jest jednoznaczna z dokładnością do kolejności elementów na przekątnej), ale jeśli już ustalisz kolejność elementów na przekątnej w macierzy D, to potem musisz zastosować odpowiednią kolejność kolumn w macierzy. Te macierze, które zapisałeś do siebie "nie pasują" - jeśli macierz C ma wyglądać tak, jak napisałeś, to wtedy w D musisz najpierw dać 2, a potem 1 (ponieważ w C pierwsza i druga kolumna to wektory własne odpowiadające wartości własnej 2, więc pierwszy i drugi element na przekątnej w macierzy D to musi być 2 itd).

Pozdrawiam.

[Czarny89]

Te macierze, które zapisałeś do siebie "nie pasują" - jeśli macierz C ma wyglądać tak, jak napisałeś, to wtedy w D musisz najpierw dać 2, a potem 1 (ponieważ w C pierwsza i druga kolumna to wektory własne odpowiadające wartości własnej 2, więc pierwszy i drugi element na przekątnej w macierzy D to musi być 2 itd).

Racja. Dzieki wielkie za pomoc.
Pozdrawiam