układ równań w ciele liczb rzeczywistych..

[matemmm]

Witam. Mam takie zadanie
Zbadaj liczbę rozwiązań poniższego układu równań (w ciele liczb rzeczywistych) w zależności od parametru p:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c =1 \\ 2a+b+3c+2d=2p \\4a +b+5c+2d =p \end{cases}}\)

i rozwiązuję to z Gaussa:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&0 |1\\2&1&3&2 |2p\\4&1&5&2 |p\end{bmatrix} = W _{3} - 2W _{2} \begin{bmatrix} 1&0&1&0 |1\\2&1&3&2 |2p\\0&-1&-1&-2 |-3p\end{bmatrix} = W _{2} -2W _{1} \begin{bmatrix} 1&0&1&0 |1\\0&1&-1&2 |2p-2\\0&-1&-1&-2 |-3p\end{bmatrix} = W _{3} + W _{2} \begin{bmatrix} 1&0&1&0 |1\\0&1&-1&2 |2p-2\\0&0&-2&0 |-p-2\end{bmatrix}}\)

czyli mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2c = -p-2 \\ a+c =1 \\ b-c+d = 2p-2 \end{cases}}\)

jak znaleźć te rozwiązania w zależności od p?? i jakie one są??
wogóle dobrze to rozwiązuję??

z góry dziękuję za pomoc

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\2&1&3&2 \left|2p\\4&1&5&2 \left|p\end{bmatrix}}\)

układ 3 równań z 4 niewiadomymi nigdy nie bedzie oznaczony moze być tylko nieoznaczony (posiadać nieskończenie wiele rozwiazań uzalezninych od minimum 1 parametru) lub moze byc sprzeczny

\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1}, W_{3}-4W_{1} = \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\0&1&1&2 \left|2p-2\\0&1&1&2 \left|p-4\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\0&1&1&2 \left|2p-2\\0&0&0&0 \left|-p-2\end{bmatrix}}\)

wiersz 3 w macierzy głównej wyzerował się tak więc aby układ równań nie był sprzeczny macierz rozszerzona musi być róenież równa 0

\(\displaystyle{ -p-2=0 \Rightarrow p=-2}\)


czyli jeżeli \(\displaystyle{ p=-2}\) to układ jest nieoznaczony zalezny od 2 parametrów (pozostały 2 równania z 4 niewaidomymi) natomiast jeżeli \(\displaystyle{ p \neq -2}\) układ jest sprzeczny