Baza - uzasadnienie

[iwona0103]

W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ (V,+,\mathbb R,*)}\) dana jest baza\(\displaystyle{ \mi = (u_1,u_2,u_3)}\) i endomorfizm f. Załóżmy, że dla niezerowych wektorów \(\displaystyle{ v_j}\) z V jest \(\displaystyle{ f(v_1)=2v_1}\), \(\displaystyle{ f(v_2)=-v_2}\), \(\displaystyle{ f(v_3)=0}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ v=(v_1,v_2,v_3)}\) jest bazą w V.

Kolejne podpunkty zadania potrafię zrobić, ale ten mnie przyblokował. Nie wiem jak to ruszyć

[BettyBoo]

Podane warunki na wektory \(\displaystyle{ v_j}\) oznaczają, że endomorfizm f ma dokładnie 3 wartości własne 2,-1 i 0 (formalnie jest ich co najmniej 3, ale ze względu na to, że wymiarem V jest 3 (bo jak wiemy, baza u ma 3 wektory), to f ma dokładnie podane trzy wartości własne). Każdy z wektorów \(\displaystyle{ v_j}\) należy do innej przestrzeni własnej, a niezerowe wektory z różnych przestrzeni własnych są liniowo niezależne, a więc podane wektory są liniowo niezależne, a stąd wynika - ponieważ jest ich dokładnie tyle, ile wynosi wymiar przestrzeni - że stanowią bazę przestrzeni V.

Pozdrawiam.