przestrzenie dwuliniowe, znaleźć bazę prostopadłą

[corax]

Mam zadanie:
Niech \(\displaystyle{ h: R^4 \times R^4 \rightarrow R; G(h;st)=\left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&3&0&-1\\2&0&1&2\\1&-1&2&0\end{array}\right]}\) i niech W: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3 +x_4=0\\ x_1-x_3=0 \end{cases}}\) Znaleźć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W^\perp}\). Czy \(\displaystyle{ R^4=W \oplus W^\perp}\)
Zadanie wydawało mi się proste, bo najpierw znalazłem bazę W, która wynosi (1,2,1,0) i (0,-1,0,1) i wystarczyło rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&0\end{bmatrix} \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&3&0&-1\\2&0&1&2\\1&-1&2&0\end{array}\right] \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}=0}\) , no i wtedy mi wychodzi równanie \(\displaystyle{ 2x_1+6x_2+3x_3+x_4=0}\) rozwiązaniem tego równania jest np. (1,1,-2,-2), tak samo robię dla drugiego wektora bazy. I otrzymuje 2 wektory prostopadłe. Pytanie pierwsze: czy dobrze rozumuje, pytanie drugie:e jak sprawdzić to, czy suma prosta wektorów w bazie W i prostopadłej do W rozpina R^4 ? bo przecież ja znalazłem tylko przykładową bazę prostopadłą? W

[darlove]

O ile mnie pamiec nie myli, to w przestrzeniach skonczenie wymiarowych, suma mnogosciowa baz z przestrzeni i jej dopelnienia prostopadlego ZAWSZE stanowi baze dla wyjsciowej przestrzeni. To jest ogolne twierdzenie.

[corax]

Nie do końca, bo to są przestrzenie dwuliniowe i może się okazać, że jakiś wektor jest izotropowy. To co mówisz jest prawdą, ale tylko w przestrzeniach euklidesowych., tak chociaż mi się wydaje

[darlove]

Nie do końca, bo to są przestrzenie dwuliniowe i może się okazać, że jakiś wektor jest izotropowy. To co mówisz jest prawdą, ale tylko w przestrzeniach euklidesowych., tak chociaż mi się wydaje

W kazdej skonczenie wymiarowej to jest prawda z tego, co pamietam. Nawe pewnie moglbym wygrzebac dowod, ale... nie mam na to czasu. Wystarczy spojrzec do dowolnej ksiazki do algebry liniowej.

[corax]

No dobra, a powiedz mi, takie samo polecenie jak w tym zadaniu co podałem, mamy dany wektor w W : (1,1) i mam \(\displaystyle{ G(h, st)=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\) i teraz mam znaleźć bazę prostopadłą, więc :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}=0}\)
\(\displaystyle{ x_1-x_2=0}\)
Z tego wychodzi, że wektorem prostopadłym jest (1,1), więc suma prosta tych dwóch podprzestrzeni wynosi 1, tylko dlatego, że wektor (1,1) jest sam do siebie prostopadły.
Z tego co mówisz wynika, że się mylę, powiedz mi gdzie, bo po prostu ja tego nie widzę

[darlove]

No dobra, a powiedz mi, takie samo polecenie jak w tym zadaniu co podałem, mamy dany wektor w W : (1,1) i mam \(\displaystyle{ G(h, st)=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\) i teraz mam znaleźć bazę prostopadłą, więc :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}=0}\)
\(\displaystyle{ x_1-x_2=0}\)
Z tego wychodzi, że wektorem prostopadłym jest (1,1), więc suma prosta tych dwóch podprzestrzeni wynosi 1, tylko dlatego, że wektor (1,1) jest sam do siebie prostopadły.
Z tego co mówisz wynika, że się mylę, powiedz mi gdzie, bo po prostu ja tego nie widzę

Zara, moment. A w jakiej przestrzeni Ty sie obracasz? Przeciez to ma znaczenie. Ile ma wymiarow? I jeszcze jedno: nie kazda forma kwadratowa moze byc iloczynem skalarnym...

[corax]

Tutaj chodziło mi o R^2, zapomniałem dodać (choć po wektorze to widać).
Nie za bardzo rozumiem o co chodzi z tym iloczynem skalarnym, przecież tutaj (tzn. w obu przypadkach) ewidentnie widać, że to nie jest iloczyn skalarny....

[darlove]

Tutaj chodziło mi o R^2, zapomniałem dodać (choć po wektorze to widać).
Nie za bardzo rozumiem o co chodzi z tym iloczynem skalarnym, przecież tutaj (tzn. w obu przypadkach) ewidentnie widać, że to nie jest iloczyn skalarny....

Jesli nie masz iloczynu skalarnego, to co to znaczy przestrzen prostopadla??? Jak definiujesz przestrzen dopelnienia prostopadlego? Albo ja czegos nie rozumiem....