wektory własne, wartości własne

[matemmm]

Znajdź wartości własne i odpowiadające im wektory własne poniższych przekształceń liniowych(przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{2}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\)):
a) \(\displaystyle{ L((x,y)) = (2x-y, 0)}\)
b) \(\displaystyle{ L((x,y)) = (2x-y,x)}\)
c) \(\displaystyle{ L((x,y,z)) = (2x-y, 0, y+z)}\)
d) \(\displaystyle{ L((x,y,z)) = (0,0,y)}\)

jak się rozwiązuje taki zadanie??
proszę o pomoc..

[BettyBoo]

Się pisze macierz przekształcenia w dowolnej bazie (najlepiej kanonicznej) i się oblicza wartości własne i wektory własnej macierzy.

Wartości własne macierzy A to pierwiastki równania \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\).

Dla każdej obliczonej wartości własnej a rozwiązujesz układ równań \(\displaystyle{ (A-aI)X=0}\), a wszystkie jego rozwiązania są wektorami własnymi odpowiadającymi danej wartości własnej a.

Pozdrawiam.

[matemmm]

Się pisze macierz przekształcenia w dowolnej bazie (najlepiej kanonicznej) i się oblicza wartości własne i wektory własnej macierzy.

Wartości własne macierzy A to pierwiastki równania \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\).

Dla każdej obliczonej wartości własnej a rozwiązujesz układ równań \(\displaystyle{ (A-aI)X=0}\), a wszystkie jego rozwiązania są wektorami własnymi odpowiadającymi danej wartości własnej a.

Pozdrawiam.

czy mogłabyś pokazać na przykładzie jak to wygląda??
będę wdzięczny;)

[BettyBoo]

To weźmy sobie b).

Macierz tego przekształcenia w ob bazach kanonicznych to \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}}\).

Zatem wartości własne to rozwiązania równania

\(\displaystyle{ 0=det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\0&1-\lambda\end{vmatrix}}\)

a więc mamy dwie wartości własne: \(\displaystyle{ \lambda_1=2,\ \lambda_2=1}\).

Dla \(\displaystyle{ \lambda_1=2}\) musimy rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (A-\lambda_1 I)X=0}\). Macierzą tego układu jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2-\lambda_1&-1\\0&1-\lambda_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\0&-1\end{bmatrix}}\), a stąd \(\displaystyle{ x_2=0,\ x_1}\) dowolny, więc wektory własne są postaci \(\displaystyle{ X=[t,0]^T,\ t\in\mathbb{R}}\)


Dla \(\displaystyle{ \lambda_2=1}\) musimy rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (A-\lambda_2 I)X=0}\). Macierzą tego układu jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2-\lambda_2&-1\\0&1-\lambda_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&0\end{bmatrix}}\), a stąd \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc wektory własne są postaci \(\displaystyle{ X=[t,t]^T,\ t\in\mathbb{R}}\)

Pozdrawiam.

[Avlli]

hmm, nie zrobiłeś tu błędu ? moim zdaniem

A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right]}\)

[BettyBoo]

Masz rację, zrobiłam tu błąd.

Pozdrawiam.

[kate252]

Witajcie,
odnośnie danego tematu o wektorach i wartościach własnych mam pewne pytanie. Może najpierw przedstawię problem.

Niech A będzie macierzą kwadratową o elementach nieujemnych, której suma elementów w każdej kolumnie jest równa 1. Co więcej, pomijając ostatni wiersz i ostatnią kolumnę, otrzymujemy (pod)macierz symetryczną.

Czy wartości własne dla danej macierzy są zespolone czy rzeczywiste?

Gdzie można szukać odpowiednich informacji na powyższy temat?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc!-- 25 czerwca 2009, 12:10 --Problem rozwiązany; wartości własne są zespolone, dobrym przykładem jest macierz:

1/23 9/23 1/19
9/23 13/23 8/23
13/23 1/23 10/23

Pozdrawiam.