macierz przekształcenia w bazie..

[kamzeso]

Mam problem z takim zadaniem:

Niech: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1\\-1&1\end{array}\right]}\) będzie macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ L : \mathbb{R} ^{2} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}}\) w bazie standardowej \(\displaystyle{ (1,0),(0,1)}\). Weźmy nową bazę: \(\displaystyle{ (1,1),(1,-1)}\). Jak wygląda macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w tej bazie?

proszę o pomoc..

[gosis]

według mnie będzie tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0\\2&2\end{bmatrix}}\)
ale nie jestem pewna dopiero się zaczynam uczyć takich rzeczy:)

[metro]

dokaldnie tak
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
2 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}}\)

[kamzeso]

dokaldnie tak
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
2 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}}\)

ok, dzieki, ale nie rozumiem dlaczego jest tutaj mnożenie przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}}\)

mógłbyś mi to wytłumaczyć??

[metro]

Mamy o to taki wzor
\(\displaystyle{ \boldsymbol{A'=P^{-1}\cdot A\cdot P}}\)

gdzie:
P - macierz przejscia miedzy nowa baza a baza kanoniczna
A - dana macierz przeksztalcenia
A' - szukana macierz przeksztalcenia w nowej bazie

a macierz o ktora pytasz to macierz odwrotna do P, badz, jak kto woli, macierz przejscia z bazy kanonicznej do nowej bazy