Dane są wektory: \(\displaystyle{ v_1=(k,1,1)}\) \(\displaystyle{ v_2=(1,k,1)}\) \(\displaystyle{ v_3=(1,1,k)}\). Dla jakich wartości parametru k wektor \(\displaystyle{ v=(1,k,k^2)}\) należy do podprzestrzeni \(\displaystyle{ lin\{v_1,v_2,v_3\}}\)?
Wiem, że należy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ v=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3}\). Tylko nie wiem jak to zapisać, aby otrzymać odpowiednie wartości parametru.
Kombinacja liniowa wektorów z parametrem
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
Kombinacja liniowa wektorów z parametrem
\(\displaystyle{ (1,k,k^2) = \alpha (k,1,1) +\beta (1,k,1) +\gamma (1,1,k)\\
\begin{cases} 1 = \alpha k +\beta+\gamma \\k = \alpha+\beta k+\gamma\\k^2 = \alpha+\beta+\gamma k \end{cases}\\ \\
\left[\begin{array}{c}1\\k\\k^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]\\
\left[\begin{array}{ccc|c}k&1&1&1\\1&k&1&k\\1&1&k&k^2\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\1&k&1&k\\k&1&1&1\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\0&k-1&1-k&k-k^2\\0&1-k&1-k^2&1-k^3\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\0&k-1&1-k&k-k^2\\0&0&2-k-k^2&1+k-k^2-k^3\end{array}\right]}\)
A więc rozwiązanie na pewno istnieje dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R} \backslash \{-2, -1, 0, 1\}}\) i należy zbadać jeszcze te szczególne przypadki.
\begin{cases} 1 = \alpha k +\beta+\gamma \\k = \alpha+\beta k+\gamma\\k^2 = \alpha+\beta+\gamma k \end{cases}\\ \\
\left[\begin{array}{c}1\\k\\k^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]\\
\left[\begin{array}{ccc|c}k&1&1&1\\1&k&1&k\\1&1&k&k^2\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\1&k&1&k\\k&1&1&1\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\0&k-1&1-k&k-k^2\\0&1-k&1-k^2&1-k^3\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k^2\\0&k-1&1-k&k-k^2\\0&0&2-k-k^2&1+k-k^2-k^3\end{array}\right]}\)
A więc rozwiązanie na pewno istnieje dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R} \backslash \{-2, -1, 0, 1\}}\) i należy zbadać jeszcze te szczególne przypadki.