witam!
mam takie zadanko:
Zbadać istnienie rozwiązań nietrywialnych układu i jeśli takie istnieją to wyznaczyć gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - 4y + 5z + 3t = 0\\ 3x - 6y + 4z + 2t = 0\\ 4x - 8y + 17z + 11t = 0\end{cases}}\)
dzięki piękne i pozdrawiam
ANiA
rozwiązanie nietrwialne?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
rozwiązanie nietrwialne?
Sprowadzasz układ do postaci Cramera
Korzystasz z twierzdzenia Kroneckera Capellego
i liczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
\(\displaystyle{ rank(A)=rank(Au)=2}\)
To powinno starczyć ponieważ są cztery niewiadome
Jeżeli rzędy są równe to bierzemy podmacierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku
Stopień tej podmacierzy jest równy rzędom macierzy głównej i rozszerzonej
Niepotrzebne równania trzeba skreślić a nadmiarowe niewiadome przenosimy do
kolumny wyrazów wolnych
Teraz gdy układ jest już w postaci Cramera liczysz np
macierz odwrotną do wybranej podmacierzy kwadratowej i mnożysz przez kolumnę wyrazów wolnych
Wybierzmy podmacierz kwadratową
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 5&3 \\ 4&2 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} -2&3 \\ 4&-5 \end{array} \right]}\)
Rozwiązanie to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} -2&3 \\ 4&-5 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} -2x+4y \\-3x+6y \end{array} \right]}\)
Korzystasz z twierzdzenia Kroneckera Capellego
i liczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
\(\displaystyle{ rank(A)=rank(Au)=2}\)
To powinno starczyć ponieważ są cztery niewiadome
Jeżeli rzędy są równe to bierzemy podmacierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku
Stopień tej podmacierzy jest równy rzędom macierzy głównej i rozszerzonej
Niepotrzebne równania trzeba skreślić a nadmiarowe niewiadome przenosimy do
kolumny wyrazów wolnych
Teraz gdy układ jest już w postaci Cramera liczysz np
macierz odwrotną do wybranej podmacierzy kwadratowej i mnożysz przez kolumnę wyrazów wolnych
Wybierzmy podmacierz kwadratową
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 5&3 \\ 4&2 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} -2&3 \\ 4&-5 \end{array} \right]}\)
Rozwiązanie to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} -2&3 \\ 4&-5 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} -2x+4y \\-3x+6y \end{array} \right]}\)