Macierz podobna do macierzy diagonalnej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
piotrekd4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 25 lis 2008, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec/Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Macierz podobna do macierzy diagonalnej

Post autor: piotrekd4 »

Udowodnij, że żadna macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&c\\0&1\end{array}\right]}\), gdzie c jest różne od 0, nie jest podobna do żadnej macierzy diagonalnej.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Macierz podobna do macierzy diagonalnej

Post autor: lukasz1804 »

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje macierz nieosobliwa \(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc}u&v\\x&y\end{array}\right]}\) oraz istnieje liczba \(\displaystyle{ d\neq 1}\) taka, że \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}d&0\\0&d\end{array}\right]=P^{-1}\left[\begin{array}{cc}1&c\\0&1\end{array}\right]P}\). Wtedy \(\displaystyle{ P\left[\begin{array}{cc}d&0\\0&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&c\\0&1\end{array}\right]P}\), tj. \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}u&v\\x&y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}d&0\\0&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&c\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}u&v\\x&y\end{array}\right]}\). Stąd w szczególności \(\displaystyle{ dx=x}\) oraz \(\displaystyle{ dy=y}\). Ponieważ w myśl przypuszczenia mamy \(\displaystyle{ d\neq 1}\), to \(\displaystyle{ x=y=0}\). To jednak jest niemożliwe, gdyż dolny wiersz macierzy P jest niezerowy (jak każdy wiersz macierzy nieosobliwej). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
ODPOWIEDZ