Wektory - Objętosć czworościanu o wierzchołkach

[DeMatt20]

Treść zadania : Dany jest czworościan o wierzchołkach A(0,0,1) B(-1,1,3) C(-1,2,2) D(1,1,0).
Oblicz objętość tego czworościanu oraz długość jego wysokości opuszczonej z wierzchołka A



Bardzo proszę o skrupulatne wytłumaczenie mi metody obliczania podobnych zadań, szczególnie części pogrubionej.

Pozdrawiam wszystkich,
Matt

[Crizz]

Żeby obliczyć objętość czworościanu, musisz mieć trzy wektory wyznaczone przez krawędzie wychodzące z jednego punktu, np. A:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-1,1,2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[-1,2,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AD}=[1,1,-1]}\)

Objętość czworościanu jest równa 1/6 wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego tych wektorów:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}|(\vec{AB} \circ (\vec{AC} \times \vec{AD})|=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}-1&1&2\\-1&2&1\\1&1&-1\end{array}\right|=\frac{1}{6} \cdot |-3|=\frac{1}{2}}\)
(sprawdź jeszcze obliczenia)

Dalej korzystamy z zależności \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} S_{\Delta BCD} \cdot H_{A}}\)
Wynika stąd, że \(\displaystyle{ H_{A}=\frac{3V}{S_{\Delta BCD}}}\)
Pole trójkąta BCD jest równe połowie długości iloczynu wektorowego BC i BD:
\(\displaystyle{ \vec{BC}=[0,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}=[2,0,-3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC} \times \vec{BD} =\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&1&-1\\2&0&-3\end{array}\right|=[-3,-2,-2]}\)
\(\displaystyle{ |\vec{BC} \times \vec{BD}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}\sqrt{17}}\)
Stąd \(\displaystyle{ H_{A}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}}\)

[DeMatt20]

Dzięki za pomoc, ale mam pytanie : dlaczego w zależności od tego które wektory wezme (np. Ty użyłeś AB AC i AD) np. ja wezme CA CB i CD, ich iloczyn mieszany jest zupełnie inny niż tych pierwszych. Przecież to niemożliwe żeby objętość zmieniała się w zależności od tego, które wektory sprawdzamy...już sam nie wiem.

[Crizz]

Hmmm.. ja wrzuciłem twoje wektory do programu matematycznego i iloczyn mi wyszedł taki sam (oczywiście z dokładnością co do znaku, w tym wypadku akurat iloczyn wychodzi 3).