Wyznacz macierz X z równiania

mgcaliber · Post autor: **mgcaliber** » 11 cze 2009, o 11:41

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&3\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) X + \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&3\\-2&7\end{array}\right]}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 cze 2009, o 12:00

Równanie ma postać \(\displaystyle{ AX+B=C}\).

Ponieważ macierz A jest odwracalna, to masz

\(\displaystyle{ AX=C-B\ \Rightarrow \ X=A^{-1}(C-B)}\)

Obliczasz i masz.
Pozdrawiam.

mgcaliber · Post autor: **mgcaliber** » 11 cze 2009, o 12:05

hmm a jak zrobić macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 cze 2009, o 12:15

Albo wykorzystać wzór albo proces Gaussa-Jordana.

Dla macierzy stopnia 2 łatwo zapamiętać postać macierzy odwrotnej - ze wzoru na macierz odwrotną wynika, że

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}\)

Pozdrawiam.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 cze 2009, o 15:37

Obliczanie macierzy odwrotnej

1. Metoda wyznacznikowa

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}} \cdot \left(A^{D} \right)^{T}}\)

\(\displaystyle{ A^{D}}\) macierz dopełnień

\(\displaystyle{ A^{D}_{ij}= \left(-1\right) ^{i+j}\det{A_{ij}}}\)

\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz powstała przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

2. Metoda eliminacji Gaussa

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[ I|A^{-1}\right]}\)

Do macierzy odwracanej dołączamy macierz jednostkową
Lewy blok tej macierzy sprowadzamy do macierzy jednostkowej
za pomocą operacji elementarnych
Gdy lewy blok tej macierzy przyjmie postać macierzy jednostkowej to
prawy blok przyjmie postać macierzy odwrotnej

Operacje elementarne

1. Dodanie wszystkich elementów jednego wiersza do odpowiednich elementów innego wiersza
2. Pomnożenie wszystkich elementów wybranego wiersza przez skalar różny od zera
3.Zamiana wszystkich elementów jednego wiersza z odpowiednimi elementami innego wiersza
4. Wiersz można skreślić jeżeli jest kombinacją liniową innych wierszy

3. Metoda rozkładu LU

Metoda ta polega na rozwiązaniu n układów równań liniowych
Złożoność tej metody jest taka sama jak i złożoność metody eliminacji Gaussa
ponieważ rozkładu dokonujemy tylko raz

Macierz obliczamy kolumnami

Rozkład macierzy

Ze wzoru na mnożenie macierzy dostajemy układ równań który jest łatwy do rozwiązania metodą podstawiania
Przydatne jest także wyznaczenie macierzy permutacji która obrazuje przestawianie wierszy

Gdy już dokonamy rozkładu to rozwiązujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=B \\ Ux=y \end{cases}}\)

B to kolumna macierzy jednostkowej

Rozwiązujemy powyższy układ równań dla wszystkich kolumn macierzy jednostkowej

Kolumny x ustawiamy zgodnie z macierzą permutacji

Jak obliczać macierz odwrotną za pomocą rozkładu LU
jest pokazane w książce "Metody numeryczne" Fortuna Macukow

Implementacja odwracania macierzy znajduje się w
książce "Numerical recipes in C"

mgcaliber · Post autor: **mgcaliber** » 11 cze 2009, o 16:57

Ok dzieki, powiedzcie mi jeszcze jak najszybciej i najłatwiej policzyć wyznacznik takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}2&5&1&4&3\\1&8&-1&-3&5\\1&0&1&3&1\\0&2&3&6&0\\3&-1&-1&1&-5\end{array}\right]}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 cze 2009, o 18:15

mgcaliber pisze:Ok dzieki, powiedzcie mi jeszcze jak najszybciej i najłatwiej policzyć wyznacznik takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}2&5&1&4&3\\1&8&-1&-3&5\\1&0&1&3&1\\0&2&3&6&0\\3&-1&-1&1&-5\end{array}\right]}\)

Ja bym zastosował metodę eliminacji Gaussa

lub ewentualnie metodę rozkładu LU

Rozłóż macierz na iloczyn macierzy LU

Ze wzoru na iloczyn macierzy dostaniemy układ 25 równań
które łatwo rozwiązać metodą podstawiania
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy i jest pomocne
przy ustaleniu znaku wyznacznika

Po obliczeniu rozkładu LU=PA

\(\displaystyle{ \det{A}=\det{P} \cdot \det{L}\cdot \det{U}}\)

\(\displaystyle{ \det{P}= \left(-1\right)^k}\)

k-ilość inwersji permutacji (przestawień wierszy)

Jeżeli na głównej przekątnej macierzy L znajdują się same jedynki to

\(\displaystyle{ \det{L}=1}\)

\(\displaystyle{ \det{U}= \prod_{i=1}^{n} \quad u_{ii}}\)

\(\displaystyle{ \det{A}=-282}\)

\(\displaystyle{ P= \left[ \begin{array} {ccccc} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ L=\left[ \begin{array} {ccccc} 1&0&0&0&0 \\ \frac{1}{2} &1&0&0&0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{5}{11} &1&0&0 \\ 0& \frac{4}{11}&- \frac{39}{2}&1&0 \\ \frac{3}{2} &- \frac{17}{11} & \frac{53}{2}&- \frac{21}{17} &1 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ U= \left[ \begin{array} {ccccc} 2&5&1&4&3 \\ 0& \frac{11}{2} &- \frac{3}{2} &-5& \frac{7}{2} \\ 0&0&- \frac{2}{11} &- \frac{14}{11} & \frac{12}{11} \\ 0&0&0&-17&20 \\0&0&0&0&- \frac{141}{17} \end{array} \right]}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 cze 2009, o 18:25

A ja bym zastosowała operacje elementarne w połączeniu ze wzorem Laplace'a - najpierw robisz dodatkowe 3 zera np w pierwszej kolumnie, potem rozwijasz to ze wzoru Laplace'a względem pierwszej kolumny. Potem robisz znowu max 3 przekształcenia tak, aby któryś z wierszy (lub którąs z kolumn) "prawie" wyzerować i znowu wzór Laplace'a - wtedy dochodzisz do wyznacznika stopnia 3, który możesz albo znowu z Laplace'a albo z Sarrusa.

Można też zacząć od zerowania 4 wiersza, ale powstają ułamki i to nie całkiem przyjemne jest.

Pozdrawiam.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 cze 2009, o 18:55

BettyBoo zarówno metoda eliminacji Gaussa jak i metoda LU mają złożoność

\(\displaystyle{ O \left(n^3 \right)}\)

W metodzie eliminacji Gaussa sprowadzamy macierz do postaci trójkątnej
i nie wymaga stosowania rozwinięcia Laplace

BettyBoo co masz przeciwko metodzie rozkładu LU

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 cze 2009, o 15:34

Nie mówię o eliminacji Gaussa tylko o wykorzystaniu operacji elementarnych w połączeniu z tw Laplace'a.

Przeciwko metodzie rozkładu LU nic nie mam, nie znam jej

Pozdrawiam.