Funkcjonał dwuliniowy i przekształcenia afiniczne

[acmilan]

Zadanie 1.
Niech \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&4&5\\0&5&4\end{array}\right]}\).
Niech ξ:\(\displaystyle{ R^{3} \times R^{3} \rightarrow R}\) będzie określone macierzą A.
Znajdź maksymalną co do wymiaru całkowicie zdegenerowaną podprzestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\).

Zadanie 2.
Niech \(\displaystyle{ F(x_{1},x_{2},x_{3})=-8x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}+2x_{1}+4x_{2}+4x_{3}-5}\) i \(\displaystyle{ H_{1}}\)= { \(\displaystyle{ x \in R^{3} | F(x)=0}\) }
Znajdź, o ile to możliwe, izomorfizm afiniczny przekształcający zbiór \(\displaystyle{ H_{1}}\) na \(\displaystyle{ H_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ H_{2}}\)= { \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3}) \in R^{3} | x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}\) }.

Zadanie 3.
Niech l=[-1,3,5]+ lin {(0,2,1)} i H: \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}-x_{3}+5=0}\) będą prostą i płaszczyzną w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Znajdź obraz l w rzucie prostopadłym na H.

Ad. zad. 1
Rozumiem, że należy znaleźć wektory izotropowe i na nich rozpiąć tą przestrzeń. Czyli szukamy \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})}\) takich, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&4&5\\0&5&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{array}\right] = 0}\)
Z tego otrzymuję równanie: \(\displaystyle{ 9x_{1}^2+4(x_{2}+x_{3})^2+2x_{2}x_{3}=0}\) Co dalej?

Ad. zad. 3
Powiedzmy, że umiem podać wzór na na rzut prostopadły na H. Czy mogę wtedy zapisać l jako kombinację afiniczną af{[-1,3,5],[-1,5,6]} i policzyć obrazy tych punktów?

Pozdrawiam i proszę o pomoc

[Kartezjusz]

1.Jest coś więcej o tej przestrzeni ,bo wektor zerowy przestrzeni trójwymiarowej jest chyba maksymalnie zdegenerowany
3.Tak