norma wektora a iloczyn skalarny

[mennandore]

Iloczyn skalarny mozna definiowac roznie np. suma iloczynow i-tych wspolrzednych. Ale mozna zdefiniowac go np. suma iloczynow i-tych wspolzednych pomnozona przez stałą c (to rowniez "podchodzi" pod definicje iloczynu skalarnego. Mam pytanie jak to jest z normą wektora. Czy norma wektora to zawsze pierwiastek z <x|x> (gdzie x - wektor) ? Ale przeciez mozna roznie definiowac iloczyn skalarny. Wiec moga byc rozne normy ? jak to jest ? czy zawsze norma=dlugosc wektora ?

[klaustrofob]

z normą jest tak samo (warunek: c>0). jeżeli w przestrzeni jest iloczyn skalarny, to automatycznie definiuje on normę w ten sposób, jak podałeś ||x||=<x|x>. powiedzmy, że jest to sposób "standardowy". oczywiście, można przy pomocy tego iloczynu zdefinować normy w inny sposób, np. tak, jak sugerujesz: ||x||=c*<x|x> - to przecież tylko definicja. zawsze powstaje pytanie: po co? ale można. jeżeli dana jest norma, to "standardowo" długość wektora definiuje się jako jego normę. ale można by też jako połowę normy. albo jedną siódmą. w tym sensie są różne normy, różne długości. ale jedna jest standardowa, tj. domyślna.

[mennandore]

tzn standardowy iloczyn skalarny to jak rozumiem suma iloczynow wspolrzednych? I dlugosc wektora zawsze definiuje sie jako pierwiastek z sumy kwadratow wspolrzednych, a tylko jak iloczyn skalarny jest standardowy to norma pokrywa sie z dlugoscia?

[klaustrofob]

tzn standardowy iloczyn skalarny to jak rozumiem suma iloczynow wspolrzednych?

tak

I dlugosc wektora zawsze definiuje sie jako pierwiastek z sumy kwadratow wspolrzednych,

tak. tzn. standardowo. jeżeli chcesz zdefiniować inaczej, musisz to wyraźnie napisać.

___a tylko jak iloczyn skalarny jest standardowy___ to norma pokrywa sie z dlugoscia?

nie. długość JEST normą. w przestrzeniach unormowanych pojęciem podstawowym jest norma, ale żeby wskazać na źródłowe intuicje tego pojęcia, jako jegot SYNONIM wprowadza się długość wektora. zauważ jednak, że to zgrzyta, gdy mówi się o długości funkcji, prawda? a mówienie o normie jest "naturalne". zatem: standardowo długość to norma (zawsze).

[mennandore]

czyli gdy sobie zdefiniuje inaczej iloczyn skalarny to wtedy mam automatycznie inna definicje normy a wiec i dlugosci (bo to synonimy) ? Ale zalozmy ze mamy wektor na plaszczyznie. Jego dlugosc mozna obliczyc z twierdzenia pitagorasa i taka dlugosc pokrywa sie z dlugoscia jesli definiujemy iloczyn skalarny standardowo. A w chwili gdy go sobie zdefiniuje inaczej to mam jakby "inną dlugosc" (rozna od tej wyliczonej z tw Pitagorasa)

I jeszcze jedno pytanko. Czy w przypadku wektorow ortogonalnych, np. 2 wekory na plaszczyznie prostopadle do siebie, ich iloczyn skalarny zawsze bedzie rowny zeru obojetnie jak go zdefiniujemy? (jesli standardowo to napewno, a jesli zdefiniujemy inaczej?)

[klaustrofob]

czyli gdy sobie zdefiniuje inaczej iloczyn skalarny to wtedy mam automatycznie inna definicje normy a wiec i dlugosci (bo to synonimy) ?

tak.

Ale zalozmy ze mamy wektor na plaszczyznie. Jego dlugosc mozna obliczyc z twierdzenia pitagorasa i taka dlugosc pokrywa sie z dlugoscia jesli definiujemy iloczyn skalarny standardowo. A w chwili gdy go sobie zdefiniuje inaczej to mam jakby "inną dlugosc" (rozna od tej wyliczonej z tw Pitagorasa)

tak.

I jeszcze jedno pytanko. Czy w przypadku wektorow ortogonalnych, np. 2 wekory na plaszczyznie prostopadle do siebie, ich iloczyn skalarny zawsze bedzie rowny zeru obojetnie jak go zdefiniujemy? (jesli standardowo to napewno, a jesli zdefiniujemy inaczej?)

w przypadku skończenie wymiarowych przestrzeni jest tak, jak piszesz. wynika to z twierdzenia o równoważności form kwadratowych. jednak w przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych na ogół nie. np. weźmy iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}f(x)g(x)dx}\) na przestrzeni funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\). wektory (funkcje) sin x oraz cos x są ortogonalne (całka \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}\sin x \cos x dx=0}\)). jeżeli jednak rozważmy iloczn zdefiniowany jako \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}x\cdot f(x)g(x)dx}\), to już nie są ortogonalne (mam nadzieję, nie sprawdzałem )

[mennandore]

Jeszcze odnosnie tych wektorow na plaszczyznie. Mowisz ze obojetnie od definicji, jezeli sa ortogonalne to iloczyn skalarny jest rowny 0. A jak to jest z doborem ukadu wspolrzednych? Moge np. wybrac taki uklad ze jeden z wektorow lezy na osi OX ale moge tez wybrac taki uklad ze zaden wektor nie lezy na zadnej z osi (OX i OY). Niezaleznie od wyboru, iloczyn skalarny zawsze bedzie rowny zero ?

[klaustrofob]

tak, niezależnie od wyboru. zauważ, że geometryczna definicja iloczynu skalarnego to \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}=|a|\cdot |b|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})}\) i współrzędne tutaj nijak nie ingerują. spójrz na to jeszcze inaczej: iloczyn skalarny jest funkcją, która parom wektorów przypisuje w pewien sposób ich liczby. wektor sam z siebie nie zależy od układu współrzędnych, to jest coś danego. w różnych układach jeden i ten sam wektor ma różne współrzędne, ale dziwne by było, żeby wartości funkcji określonej na wektorze zależały od tych współrzędnych, a nie od wektora, prawda?

[mennandore]

Jeszcze wracajac do poprzedniego pytania.Definicja geometryczna z cosinusem jest chyba wyprowadzona z tego standardowego iloczynu tzn suma iloczynow skladowych. A ja sobie np. zdefiniuje iloczyn skalarny tak : Suma iloczynów i-tych wspolrzednych, przy czym kazdy skladnik sumy jest pomnozony przez odpowiednie "i". Czy wtedy tez iloczyn skalarny bedzie rowny 0 ? Jezeli sobie pomysle tak: Jeden wektor lezy na osi OX a drugi na OY (czyli sa ortogonalne) to wtedy owszem, wszysko bedzie dzialalo - mnozenie przez "i" nic nie zmienia bo odpowienio wspolrzedne wektorow sa zerami a suma zer to zero Ale jezeli te wektory nie beda lezaly na osiach, ale beda ortogonalne, czy w mysl mojej "nowej" definicji iloczynu skalarnego (czyli z tym mnozeniem przez "i") tez mi sie wszystko ladnie wyzeruje ?-- 9 czerwca 2009, 18:04 --Postaram sie wytluimaczyc o co mi chodzi

wprowadzam taka def. iloczynu skalarnego:
<A|B> = A1B1 + 2*A2B2 (A1,B1,A2,B2 - wspolrzedne odpowiednio pierwsze i drugie)
o ile sie nie myle to wyjdzie mi wtedy
<A|B> = A*B * (sin(alph)cos(alph) - 2sin(alph)cos(alph)) czyli w sumie wyrazanie zalezne od kata alpha ?
PS. Strasznie przepraszam ze nie pisalem w TEXie ale bardzo sie spieszylem

[klaustrofob]

Jeszcze wracajac do poprzedniego pytania.Definicja geometryczna z cosinusem jest chyba wyprowadzona z tego standardowego iloczynu tzn suma iloczynow skladowych.[/quote]
sytuacja z iloczynem na płaszczyźnie wygląda tak:
a) definiujemy iloczyn za pomocą kąta. tu nic nie zależy od współrzędnych.
b) w \(\displaystyle{ R^2}\) rozumianej jako zbiór par liczb rzeczywistych (x,y) określamy iloczyn tak: \(\displaystyle{ ((x_1,y_1)|(x_2,y_2)=x_1y_1+x_2y_2}\). tu nie ma mowy o żadnych układach współrzędnych, po prostu zbiór par z tak zdefiniowanym iloczynem. kropka. w \(\displaystyle{ R^2}\) jako w przestrzeni liniowej można wprowadzać różne bazy. iloczyn skalarny można wyrazić poprzez współrzędne wektorów w bazie. w szczególności, w bazie standardowej, gdzie współrzędne wektora pokrywają się z współrzędnymi w parze uporządkowanej (którą jest wektor) iloczyn ten _wygląda tak samo_, jak w równości, która go definiuje, ale w innych bazach wygląda to inaczej. związki pomiędzy iloczynami skalarnymi w różnych bazach dane są macierzami przejścia - macierze te zmieniają się tak, że niezależnie w jakiej bazie obliczasz iloczyn, i tak wychodzi to samo. po tym właśnie rozpoznaje się własność geometryczną. tutaj między wektorami definiuje się za pomocą iloczynu skalarnego.
c) zauważamy, że wybór prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie ustala izometryczny (tj. zachowujący długości) izomorfizm przestrzeni wszystkich wektorów swobodnych na płaszczyźnie z \(\displaystyle{ R^2}\). izomorfizm ten wygląda tak, że każdemu wektorowi przypisujemy _parę_ uporządkowaną złożoną z jego współrzędnych w tej bazie. ale to jest _izomorfizm_, więc zachowuje iloczyn skalarny.

A ja sobie np. zdefiniuje iloczyn skalarny tak : Suma iloczynów i-tych wspolrzednych, przy czym kazdy skladnik sumy jest pomnozony przez odpowiednie "i". Czy wtedy tez iloczyn skalarny bedzie rowny 0 ? Jezeli sobie pomysle tak: Jeden wektor lezy na osi OX a drugi na OY (czyli sa ortogonalne) to wtedy owszem, wszysko bedzie dzialalo - mnozenie przez "i" nic nie zmienia bo odpowienio wspolrzedne wektorow sa zerami a suma zer to zero Ale jezeli te wektory nie beda lezaly na osiach, ale beda ortogonalne, czy w mysl mojej "nowej" definicji iloczynu skalarnego (czyli z tym mnozeniem przez "i") tez mi sie wszystko ladnie wyzeruje ?

tak, wyzeruje się. bo jeżeli obierzesz inną bazę, to iloczyn wyrażony za pomocą współrzędnych będzie w niej wyglądał inaczej - tak właśnie, że to wszystko da 0.

[mennandore]

w rozumianej jako zbiór par liczb rzeczywistych (x,y) określamy iloczyn tak: .

Czyli ten zapis jest jakis "święty" ? tzn wyrozniony ?Sorry ze tak pytam w kolko o to samo ale mi sie miesza juz troche.
Do tej pory myslalem że po prostu, iloczyn skalarny musi spelniac z definicji pewne cechy czyli:
<x|y>=<y|x>
<cx|y>=c<x|y>
<a+b|x>=<a|x> + <b|x>
<x|x>=0 gdy x=0
(Tzn mowimy tu o przestrzeni euklidesowej, bo chyba z nią zwiazana jest taka defincja iloczynu)
No i po prostu wszystko co sie miesci w tej definicji moze byc iloczynem skalarnym, np. w moze być ale nie musi bo np. drugi czlon sobie pomnoze przez 2 i tez wszystko jest zgodne z definicją. To w koncu tak jest czy jak ? Zaznaczam ze matematyka to tylko hobby nie uprawiam jej na codzien i dopiero zaczalem poczytywac conieco o algebrze liniowej.

I jeszcze jedno pytanie wczesniejsze bo mnie meczy troche ... z tym tw. pitagorasa. Wydaje sie przeciez ze dlugosc obliczona z tw. pitagorasa jest "najswiętsza" bo po prostu taka jest. Ale w chwili gdy inaczej definiuje iloczyn skalarny, mam inną normę a więc i dlugosc. Jak to jest ? w chwili gdy moja nowa norma wynosi 0,5 tej wyliczonej z pitagorasa, to juz jakby tej wyliczonej z pitagorasa nie mam prawa nazywac dlugoscia bo sobie tak a nie inaczej zdefiniowalem iloczyn skalarny i mam sie tego trzymac?

[klaustrofob]

Czyli ten zapis jest jakis "święty" ? tzn wyrozniony ?Sorry ze tak pytam w kolko o to samo ale mi sie miesza juz troche.
Do tej pory myslalem że po prostu, iloczyn skalarny musi spelniac z definicji pewne cechy czyli:
<x|y>=<y|x>
<cx|y>=c<x|y>
<a+b|x>=<a|x> + <b|x>
<x|x>=0 gdy x=0

słusznie, cokolwiek spełnia te warunki jest iloczynem skalarnym. rzecz jednak w tym, że pewne struktury są "bardzie naturalne", bo zgadzają się z "odwiecznymi" intuicjami matematyków. tak jest właśnie ze standardowym iloczynem.

ale nie musi bo np. drugi czlon sobie pomnoze przez 2 i tez wszystko jest zgodne z definicją. To w koncu tak jest czy jak ? Zaznaczam ze matematyka to tylko hobby nie uprawiam jej na codzien i dopiero zaczalem poczytywac conieco o algebrze liniowej.

racja, zgodne z definicją - patrz wyżej.

I jeszcze jedno pytanie wczesniejsze bo mnie meczy troche ... z tym tw. pitagorasa. Wydaje sie przeciez ze dlugosc obliczona z tw. pitagorasa jest "najswiętsza" bo po prostu taka jest.

ale co to znaczy: po prostu taka jest? pasuje ona do poruszania się w pustej, nieograniczonej przestrzeni, ale do poruszania się po górach na piechotę jest do bani. tak samo do poruszania się samochodem po mieście - nie przejedziesz przez blok, prawda? także tu odległośc pitagorasa jest do bani. zależy co Ci jest potrzebne.

Ale w chwili gdy inaczej definiuje iloczyn skalarny, mam inną normę a więc i dlugosc.

masz inną normę i długość. tylko po co definiujesz inaczej iloczyn skalarny? dla jakich celów? dla zabawy? to masz zabawną normę i zabawną długość. jeżeli chcesz wykorzystywać matematykę do badania świata, to naturalne - bo jakoś tam zgodne ze światem są standardowy iloczyn i standardowa norma. ale przecież nikt nie zabranie Ci rozważać innych iloczynów. pytanie: po co? jeżeli znajdziej zastosowania, to jest to jak najbardziej sensowne. jeżeli nie, to nie...

Jak to jest ? w chwili gdy moja nowa norma wynosi 0,5 tej wyliczonej z pitagorasa, to juz jakby tej wyliczonej z pitagorasa nie mam prawa nazywac dlugoscia bo sobie tak a nie inaczej zdefiniowalem iloczyn skalarny i mam sie tego trzymac?

jeżeli definiujesz nową normę, to znaczy, że uznałeś, że jest Ci do czegoś potrzebna. najwyraźniej stara, pitagorejska, nie spełnia oczekiwań. dlatego przestajesz się nią zajmować.

[mennandore]

Ok w miare juz powoli to rozumiem Dzieki wielkie. Ale jeszcze troche mnie meczy to co pisalem przedtem (ten post co wrzucilem rysunek). Bo:
1) zdefiniowalem sobie iloczyn skalarny
2) gdy ortogonalne wektory leza na osiach ukladu to iloczyn skalarny wynosi 0
3) gdy jest "przekrecilem" o kat alfa, to iloczyn mi wyszedl jako liczba zalezna od tego kata alfa - w chwili gdy alfa=0, czyli wtedy gdy wektory leza na osiach ukladu iloczyn jest rowny 0 ale dla innych wartosci alfa juz nie
dziwne mi sie jakies to wydaje.-- 15 czerwca 2009, 12:20 --Proszę o odpowiedz