Układ równań

piotrekd4 · Post autor: **piotrekd4** » 8 cze 2009, o 17:26

Dla jakich wartości parametru p podany układ ma rozwiązanie?
\(\displaystyle{ \begin{cases} px_{1}+px_{2}+px_{3} = p\\x_{1}+px_{2}+px_{3} = p\\ x_{1}+x_{2}+px_{3} = p\end{cases}}\)

O ile wiem rozwiązanie takiego układu istnieje jeśli rząd macierzy jest równy rzędowi jego macierzy rozszerzonej. Szkopuł w tym, że nie wiem za bardzo jak obliczyć rząd danej macierzy. Proszę o wskazówki.

Martinsgall · Post autor: **Martinsgall** » 8 cze 2009, o 17:30

na pewno dla zera trzeba sei tylko zastanowić nad innymi opcjami

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 8 cze 2009, o 21:43

Rząd można obliczyć metodą eliminacji Gaussa sprowadzając macierz do postaci schodkowej

Można też wybrać jakiś niezerowy element kolumny (wiersza) i za pomocą operacji elementarnych
wyzerować pozostałe elementy w wierszu (kolumnie)
Jeżeli w kolumnie (wierszu) zostanie jeden niezerowy element to można wykreślić wiersz i kolumnę
na przecięciu których znajduje się niezerowy element ale wtedy trzeba zwiększyć rząd o jeden

Jeżeli wszystkie elementy kolumny (wiersza) są zerowe to skreślamy ją (go) bez zwiększania rzędu

Czi · Post autor: **Czi** » 9 cze 2009, o 18:21

Można policzyć W(wyznacznik główny czyli bez wyrazów wolnych), Wx(wykreślamy kolumne iksową a w jej misejsce wstawiamy wyrazy wolne), Wy(analogicznie ale w miejce kolumny igrekowej), Wz(analogicznie ale w miejsce kolumne zetowej) . I teraz jeśli detW jest różny od zera mamy jedno rozwiązanie. Jeśli detW =0 i detWx=Wy=Wz=0 mamy nieskończenie wiele rozwiązań, a jeśli detW=0 a któreś z detWx lub detWy lub det Wz jest różny od zera mamy układ sprzeczne brak rozwiązań.
Tak chyba najprościej.
To są macierze :
W= (p p p) wx=ppp Wy= ppp Wz= ppp
(1 p p) ppp 1pp 1pp
(1 1 p) p1p 1pp 11p

detW=p^3-2p^2+p
i teraz jeśli p^3-2p^2+p jest różne od 0 to mamy jedno rozwiązanie

i analogicznie pozostałe przypadki