Proszę o pomoc w rozwiązaniu nastepującego zadania:
Pokaż, że każda kwadratowa macierz nieosobliwa stopnia 2 jest iloczynem macierzy poniższych typów:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}c&0\\0&1\end{array}\right]}\), gdzie c jest dowolnym niezerowym skalarem.
Za pomoc z góry dziękuję
Macierz nieosobliwa stopnia 2 jako iloczyn macierzy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Macierz nieosobliwa stopnia 2 jako iloczyn macierzy
Macierze te odpowiadają przekształceniom elementarnym. Np dzięki mnożeniu dowolnej macierzy przez macierz pierwszego typu realizuje się zamianę wierszy (lub kolumn):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}b&a\\d&c\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right]}\)
Macierz drugiego typu odpowiada za dodawanie drugiego wiersza (lub kolumny) do pierwszego, a macierz typu trzeciego odpowiada za mnożenie pierwszego wiersza przez c.
Działania na wierszach odpowiadają za mnożenie przez te trzy typy macierzy z lewej strony. Ponieważ każdą macierz można przekształceniami na wierszach sprowadzić do postaci normalnej, a postacią normalną macierzy nieosobliwej jest macierz jednostkowa, to mamy dla dowolnej macierzy A
\(\displaystyle{ E_nE_{n-1}\cdot E_2E_1A=I}\)
gdzie \(\displaystyle{ E_i}\) jest pewną macierzą jednego z trzech typów (możesz sobie nawet dokładnie napisać, jak to wygląda, śledząc proces Gaussa-Jordana dla macierzy stopnia 2.)
A ponieważ każda z tych macierzy jest odwracalna (z wyjątkiem macierzy 3 typu dla c=0 - ale takich się nie używa w procesie Gaussa-Jordana), to mamy
\(\displaystyle{ A=(E_nE_{n-1}\cdot E_2E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdot E_n^{-1}}\)
Jeśli macierz A jest jednostkowa, to jest kwadratem macierzy pierwszego typu. Zatem w każdym przypadku A jest pewnym iloczynem macierzy podanych trzech typów.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}b&a\\d&c\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right]}\)
Macierz drugiego typu odpowiada za dodawanie drugiego wiersza (lub kolumny) do pierwszego, a macierz typu trzeciego odpowiada za mnożenie pierwszego wiersza przez c.
Działania na wierszach odpowiadają za mnożenie przez te trzy typy macierzy z lewej strony. Ponieważ każdą macierz można przekształceniami na wierszach sprowadzić do postaci normalnej, a postacią normalną macierzy nieosobliwej jest macierz jednostkowa, to mamy dla dowolnej macierzy A
\(\displaystyle{ E_nE_{n-1}\cdot E_2E_1A=I}\)
gdzie \(\displaystyle{ E_i}\) jest pewną macierzą jednego z trzech typów (możesz sobie nawet dokładnie napisać, jak to wygląda, śledząc proces Gaussa-Jordana dla macierzy stopnia 2.)
A ponieważ każda z tych macierzy jest odwracalna (z wyjątkiem macierzy 3 typu dla c=0 - ale takich się nie używa w procesie Gaussa-Jordana), to mamy
\(\displaystyle{ A=(E_nE_{n-1}\cdot E_2E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdot E_n^{-1}}\)
Jeśli macierz A jest jednostkowa, to jest kwadratem macierzy pierwszego typu. Zatem w każdym przypadku A jest pewnym iloczynem macierzy podanych trzech typów.
Pozdrawiam.
Macierz nieosobliwa stopnia 2 jako iloczyn macierzy
Próbowałem rozwiązać to zadanie metodą bardziej elementarną i doszedłem do dość zaskakujących (czytaj błędnych) wniosków. Bardzo bym prosił o wskazanie błędów w moim rozumowaniu.
Należy pokazać że jeśli macierz kwadratowa M stopnia 2 jest nieosobliwa to jest poniższej postaci:
Zatem pokażemy implikacje \(\displaystyle{ detM <> 0 \Rightarrow to M}\) jest powyższej postaci. No ale wyznacznik drugiej macierzy w iloczynie wynosi 0 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)wyznacznik całego iloczynu też jest równy 0 (z tw. Cauchy'ego). Zatem mamy pokazać że jeśli \(\displaystyle{ detM <> 0 \Rightarrow detM = 0}\) czyli bomba
EDIT: Jednak już widze mójbłąd wyznacznik drugiej macierzy wynosi oczywiście 1:), ale nadal interesuje mnie jakiś elementarny sposób pociągnięcia tego dalej. Jakieś propozycje?
Należy pokazać że jeśli macierz kwadratowa M stopnia 2 jest nieosobliwa to jest poniższej postaci:
Zatem pokażemy implikacje \(\displaystyle{ detM <> 0 \Rightarrow to M}\) jest powyższej postaci. No ale wyznacznik drugiej macierzy w iloczynie wynosi 0 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)wyznacznik całego iloczynu też jest równy 0 (z tw. Cauchy'ego). Zatem mamy pokazać że jeśli \(\displaystyle{ detM <> 0 \Rightarrow detM = 0}\) czyli bomba
EDIT: Jednak już widze mójbłąd wyznacznik drugiej macierzy wynosi oczywiście 1:), ale nadal interesuje mnie jakiś elementarny sposób pociągnięcia tego dalej. Jakieś propozycje?