\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z-t+u=1 \\ x-y-3z+t-2u=0 \\ -5x-4y-2t-5u=-3 \\ 3y+5z-3t+5u=1 \end{cases}}\)
hmm, niewiadomych jest więcej niż równań.. jak się powinno rozwiązywać takie układy?
Rozwiązać ukłąd równań
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiązać ukłąd równań
Takie układy równań rozwiązuje się w dwóch etapach
Etap pierwszy to sprowadzenie układu do postaci Cramera
W układzie Cramera macierz główna układu jest kwadratowa
oraz nieosobliwa czyli jej wyznacznik jest różny od zera
Liczysz rzad macierzy głównej i rząd macierzy rozszerzonej
Jeżeli rzędy są równe to
z macierzy głównej wybierasz podmacierz kwadratową niezerowym wyznaczniku
Stopień tej macierzy jest równy rzędowi macierzy
Niepotrzebne równania skreślić a nadmiarowe niewiadome przenieść do wektora wyrazów wolnych
Etap drugi to rozwiązanie układu postaci Cramera
Układ Cramera rozwiązujesz znanymi Tobie metodami
np
metodą podstawiania
metodą wyznacznikową Cramera
metodą eliminacji Gaussa
metodą równania macierzowego
tj mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy głównej układu
metodą rozkładu LU
Jak policzyć rząd ?
Wybierasz sobie jakiś niezerowy element w kolumnie (wierszu)
i zerujesz nim pozostałe elementy
Jeżeli w kolumnie (wierszu) jest tylko jeden element to
możesz wykreślić tę kolumnę i ten wiersz na przecięciu których znajduje się ten element
jednak musisz wtedy zwiększyć rząd o jeden
Jeżeli kolumna bądź wiersz jest zerowy (brak niezerowego elementu) to
można ją skreślić bez zwiększania rzędu
Macierz można odwrócić w ten sposób
\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[I|A^{-1} \right]}\)
Elementy zerujemy za pomocą operacji elementarnych dopóki lewy blok tej macierzy
nie przyjmie postaci macierzy jednostkowej
\(\displaystyle{ rank \left( A\right)=rank \left( Au\right)=3}\)
Wybierzmy podmacierz kwadratową stopnia trzeciego
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} -3&1&-2 \\ 0&-2&-5\\5&-3&5 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna do wybranej podmacierzy to
\(\displaystyle{ \frac{1}{30} \left[ \begin{array}{ccc} -25&1&-9 \\ -25&-5&-15 \\10&-4&6 \end{array} \right]}\)
Parametry swobodne to x i y
Parametry bazowe można obliczyć mnożąc macierz odwrotną przez kolumnę wyrazów wolnych
\(\displaystyle{ \frac{1}{30} \left[ \begin{array}{ccc} -25&1&-9 \\ -25&-5&-15 \\10&-4&6 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} -x+y&-3+5x+4y&1-3y \end{array} \right]}\)
Po wymnożeniu powinniśmy otrzymać
\(\displaystyle{ \left( x\ ,y\ , \frac{1}{5} \left( 5x+y-2\right)\ ,0\ , \frac{1}{5} \left(-5x-4y+3 \right) \right)}\)
Operacje elementarne
1. Zamiana wierszy
(zamieniamy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy )
2. Pomnożenie wiersza przez skalar różny od zera
(mnożymy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
gdybyśmy pomnożyli przez skalar równy zero to elementy wiersza by się wyzerowały
i zmuszeni bylbyśmy do skreślenia go )
3. Dodanie jednego wiersza do innego wiersza
(dodajemy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
ewentualnie mnożąc elementy z jednego wiersza przez skalar )
4. Wiersz macierzy można skreślić gdy jest on kombinacją liniową innych wierszy
Rozkład LU
1.
Za pomocą eliminacji Gaussa sprowadzamy macierz do postaci górnotrójkątnej przy czym
współczynniki użyte do zerowania odpowiednich elementów zapisujemy w macierzy dolnotrójkątnej
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy
2.
Ze wzoru na mnożenie macierzy dostajemy układ równań łatwy do rozwiązania metodą podstawiania
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy
Dla macierzy 3x3
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ l_{21}&1&0 \\ l_{31}&l_{32}&1 \end{array} \right]* \left[ \begin{array}{ccc} u_{11}&u_{12}&u_{13} \\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33} \end{array} \right]}\)
Przy mnożeniu macierzy można skorzystać z tzw schematu Falka
Mnożymy wiersz pierwszej macierzy przez kolumnę drugiej macierzy
tzn sumujemy wszystkie iloczyny gdzie pierwszy czynnik należy do wybranego wiersza pierwszej macierzy
a drugi czynnik należy do wybranej kolumny drugiej macierzy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}=u_{1} \\ a_{12}=u_{12}\\a_{13}=u_{13}\\a_{21}=l_{21}u_{11}\\a_{22}=l_{21}u_{12}+u_{22}\\a_{23}=l_{21}u_{13}+u_{23}\\a_{31}=l_{31}u_{11}\\a_{32}=l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22}\\a_{33}=l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33}\end{cases}}\)
Po rozkładzie macierzy głównej układu ma iloczyn macierzy dostajemy dwa trójkątne układy równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=B \\ Ux=y \end{cases}}\)
Etap pierwszy to sprowadzenie układu do postaci Cramera
W układzie Cramera macierz główna układu jest kwadratowa
oraz nieosobliwa czyli jej wyznacznik jest różny od zera
Liczysz rzad macierzy głównej i rząd macierzy rozszerzonej
Jeżeli rzędy są równe to
z macierzy głównej wybierasz podmacierz kwadratową niezerowym wyznaczniku
Stopień tej macierzy jest równy rzędowi macierzy
Niepotrzebne równania skreślić a nadmiarowe niewiadome przenieść do wektora wyrazów wolnych
Etap drugi to rozwiązanie układu postaci Cramera
Układ Cramera rozwiązujesz znanymi Tobie metodami
np
metodą podstawiania
metodą wyznacznikową Cramera
metodą eliminacji Gaussa
metodą równania macierzowego
tj mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy głównej układu
metodą rozkładu LU
Jak policzyć rząd ?
Wybierasz sobie jakiś niezerowy element w kolumnie (wierszu)
i zerujesz nim pozostałe elementy
Jeżeli w kolumnie (wierszu) jest tylko jeden element to
możesz wykreślić tę kolumnę i ten wiersz na przecięciu których znajduje się ten element
jednak musisz wtedy zwiększyć rząd o jeden
Jeżeli kolumna bądź wiersz jest zerowy (brak niezerowego elementu) to
można ją skreślić bez zwiększania rzędu
Macierz można odwrócić w ten sposób
\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[I|A^{-1} \right]}\)
Elementy zerujemy za pomocą operacji elementarnych dopóki lewy blok tej macierzy
nie przyjmie postaci macierzy jednostkowej
\(\displaystyle{ rank \left( A\right)=rank \left( Au\right)=3}\)
Wybierzmy podmacierz kwadratową stopnia trzeciego
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} -3&1&-2 \\ 0&-2&-5\\5&-3&5 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna do wybranej podmacierzy to
\(\displaystyle{ \frac{1}{30} \left[ \begin{array}{ccc} -25&1&-9 \\ -25&-5&-15 \\10&-4&6 \end{array} \right]}\)
Parametry swobodne to x i y
Parametry bazowe można obliczyć mnożąc macierz odwrotną przez kolumnę wyrazów wolnych
\(\displaystyle{ \frac{1}{30} \left[ \begin{array}{ccc} -25&1&-9 \\ -25&-5&-15 \\10&-4&6 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} -x+y&-3+5x+4y&1-3y \end{array} \right]}\)
Po wymnożeniu powinniśmy otrzymać
\(\displaystyle{ \left( x\ ,y\ , \frac{1}{5} \left( 5x+y-2\right)\ ,0\ , \frac{1}{5} \left(-5x-4y+3 \right) \right)}\)
Operacje elementarne
1. Zamiana wierszy
(zamieniamy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy )
2. Pomnożenie wiersza przez skalar różny od zera
(mnożymy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
gdybyśmy pomnożyli przez skalar równy zero to elementy wiersza by się wyzerowały
i zmuszeni bylbyśmy do skreślenia go )
3. Dodanie jednego wiersza do innego wiersza
(dodajemy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
ewentualnie mnożąc elementy z jednego wiersza przez skalar )
4. Wiersz macierzy można skreślić gdy jest on kombinacją liniową innych wierszy
Rozkład LU
1.
Za pomocą eliminacji Gaussa sprowadzamy macierz do postaci górnotrójkątnej przy czym
współczynniki użyte do zerowania odpowiednich elementów zapisujemy w macierzy dolnotrójkątnej
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy
2.
Ze wzoru na mnożenie macierzy dostajemy układ równań łatwy do rozwiązania metodą podstawiania
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy
Dla macierzy 3x3
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ l_{21}&1&0 \\ l_{31}&l_{32}&1 \end{array} \right]* \left[ \begin{array}{ccc} u_{11}&u_{12}&u_{13} \\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33} \end{array} \right]}\)
Przy mnożeniu macierzy można skorzystać z tzw schematu Falka
Mnożymy wiersz pierwszej macierzy przez kolumnę drugiej macierzy
tzn sumujemy wszystkie iloczyny gdzie pierwszy czynnik należy do wybranego wiersza pierwszej macierzy
a drugi czynnik należy do wybranej kolumny drugiej macierzy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}=u_{1} \\ a_{12}=u_{12}\\a_{13}=u_{13}\\a_{21}=l_{21}u_{11}\\a_{22}=l_{21}u_{12}+u_{22}\\a_{23}=l_{21}u_{13}+u_{23}\\a_{31}=l_{31}u_{11}\\a_{32}=l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22}\\a_{33}=l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33}\end{cases}}\)
Po rozkładzie macierzy głównej układu ma iloczyn macierzy dostajemy dwa trójkątne układy równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=B \\ Ux=y \end{cases}}\)