Wyznacz wzór ogólny przekształcenia

[sers]

Wyznacz wzór ogólny przekształcenia, bazę i wymiar jądra oraz bazę i wymiar obrazu. Czy przekształcenie jest nieosobliwe?

\(\displaystyle{ f: R^{4} \rightarrow R[x]_{1}}\):
\(\displaystyle{ f(-2,1,0,0)=-2}\)
\(\displaystyle{ f(0,2,0,0)=4x}\)
\(\displaystyle{ f(1,0,1,0)=x}\)
\(\displaystyle{ f(1,1,0,3)=4}\)

To moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(0,1,0,0)=0,5*f(0,2,0,0)=2x}\)
\(\displaystyle{ f(1,0,0,0)=[f(-2,1,0,0)-f(0,1,0,0)]*(-0,5)=x+1}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,1,0)=f(1,0,1,0)-f(1,0,0,0)=-1}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,0,1)= \frac{1}{3} *[f(1,1,0,3)-f(1,0,0,0)-f(0,1,0,0)]=-x-1}\)

\(\displaystyle{ f(a,b,c,d)=a*f(1,0,0,0)+b*f(0,1,0,0)+c*f(0,0,1,0)+d*f(0,0,0,1)=(c+2d-f)*x+(c+e-f)*1}\)

\(\displaystyle{ Imf=lin[2x,x,4,-2] \Rightarrow Imf=lin[x,4]}\)
\(\displaystyle{ B_{Imf}=[x,4]}\)
\(\displaystyle{ dim_{Imf}=2}\)

\(\displaystyle{ kerf=pusty}\)
\(\displaystyle{ dim_{kerf}=0}\)

Zdaje sie, ze calosc musi miec wymiar 2, a wymiar calosci = dimImf+dimKerf
Z tym ze mam watpliwosci co do jadra, bo jak porownywalem wspolczynniki przy x i 1 do 0 to cos dziwnego wychodzilo.
Druga watpliwosc: czy do Imf wpisalem dobre wartosci, czy moze powinno byc: 2x,1,-x-1,x+1

Prosze o sprawdzenie.

[BettyBoo]

Zdaje sie, ze calosc musi miec wymiar 2, a wymiar calosci = dimImf+dimKerf
Z tym ze mam watpliwosci co do jadra, bo jak porownywalem wspolczynniki przy x i 1 do 0 to cos dziwnego wychodzilo.

Obliczenia są poprawne, ale końcowy wniosek nie. Jądro nigdy nie jest zbiorem pustym, zawsze zawiera wektor zerowy - w tym przypadku tylko wektor zerowy.

Druga watpliwosc: czy do Imf wpisalem dobre wartosci, czy moze powinno byc: 2x,1,-x-1,x+1

Prosze o sprawdzenie.

Nie ma znaczenia, które wartości weźmiesz, o ile tylko są to obrazy wektorów bazowych.

Pozdrawiam.

[sers]

Dzięki.