Znalezc jadro i obraz przekształcenia

[Sajkou]

Znalezc jadro i obraz przekształcenia \(\displaystyle{ f:R_{4}[x]->R^{4}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{-1}( \left[ 0,5,5,15 \right])}\)

\(\displaystyle{ M_{B}^{A}(f)=\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&-3\\0&1&2&-1&5\\1&-1&3&2&6\\2&-1&8&0&5\\\end{array}\right]}\)

Nie mam zielonego pojecia jak zacząc to zadanie... Jakbym miał podane bazy A i B to bym sobie wyznaczył \(\displaystyle{ f}\) a potem poprostu obliczył obraz i jądro... Ale bez baz to nie umiem... ; (

[Szemek]

Trochę minęło od ostatniego zadania z algebry, które rozwiązywałem, ale spróbuję pomóc.

\(\displaystyle{ \text{Ker} f := \{ \overline{a} \in A : f(\overline{a}) = \overline{0}_b \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{bmatrix} \qquad
\overline{0}_b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \overline{0}_b = M \cdot \overline{a}}\)
Do rozwiązania jest układ 4 równań z 5 niewiadomymi.

\(\displaystyle{ \text{Im} f := \{ \overline{b} \in B: \exists\limits_{\overline{a} \in A} : \overline{b} = f(\overline{a}) \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{bmatrix} \qquad
\overline{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \overline{b} = M \cdot \overline{a}}\)

[Sajkou]

Dzieki, to mi bardzo pomogło ; ) a moze jeszcze jakieś własnosci do wyznaczenia \(\displaystyle{ f ^{-1}}\) ? ; )