\(\displaystyle{ \begin{cases}- x_{1}+2 x_{2}+ x_{3}- x_{4}=4\\2x_{1}- x_{2}+ x_{3}+ x_{4}=6\\3 x_{2}+3 x_{3}- x_{4}=14 \end{cases}}\)
Tylko proszę o rozwiązanie krok po kroku ponieważ chcę się nauczyć jak rozwiązywać tego typu równania.
Proszę też o podpisanie poszczególnych etapów tzn. rozwiązanie ogólne, rozwiązanie szczególne, kolumny bazowe-zmienne zależne, kolumny niebazowe-zmienne niezależne, postać bazowa, rozwiązanie bazowe oraz jak wyznacza się \(\displaystyle{ x_{0}}\) w rozwiązaniu \(\displaystyle{ x= \vec{x}+ x_{0}}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{0}}\) o ile dobrze rozumiem jest przestrzenią.
Z góry dzięki za rozwiązanie.
Rozwiąż układ równań
-
miodzio1988
Rozwiąż układ równań
Jasne. Podział na etapy:
1) zajrzyj tutaj :
129006.htm
Przykład bardzo podobny.
2) Jesli Ci nie wystarczy etap 1) to skorzystaj z opcji "szukaj"
3) zamieść swoje rozwiązanie/proby rozwiazania- naprowadzimy Cię w dobrym kierunku
4) Nie pasuje taka forma rozwiązania? Trudno. Nikt za Ciebie nie będzie robił pracy domowej
1) zajrzyj tutaj :
129006.htm
Przykład bardzo podobny.
2) Jesli Ci nie wystarczy etap 1) to skorzystaj z opcji "szukaj"
3) zamieść swoje rozwiązanie/proby rozwiazania- naprowadzimy Cię w dobrym kierunku
4) Nie pasuje taka forma rozwiązania? Trudno. Nikt za Ciebie nie będzie robił pracy domowej
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż układ równań
Takie układy równań rozwiązuje się w dwóch etapach
Etap pierwszy to sprowadzenie układu do postaci Cramera
W układzie Cramera macierz główna układu jest kwadratowa
oraz nieosobliwa czyli jej wyznacznik jest różny od zera
Liczysz rzad macierzy głównej i rząd macierzy rozszerzonej
Jeżeli rzędy są równe to
z macierzy głównej wybierasz podmacierz kwadratową niezerowym wyznaczniku
Stopień tej macierzy jest równy rzędowi macierzy
Niepotrzebne równania skreślić a nadmiarowe niewiadome przenieść do wektora wyrazów wolnych
Etap drugi to rozwiązanie układu postaci Cramera
Układ Cramera rozwiązujesz znanymi Tobie metodami
np
metodą podstawiania
metodą wyznacznikową Cramera
metodą eliminacji Gaussa
metodą równania macierzowego
tj mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy głównej układu
metodą rozkładu LU
\(\displaystyle{ rank(A)=2}\)
\(\displaystyle{ rank(Au)=2}\)
Wybierzmy podmacierz kwadratową stopnia drugiego
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} -1&2 \\ 2&-1\end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna do wybranej macierzy wynosi
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{3} \left[ \begin{array}{cc} 1&2 \\ 2&1 \end{array} \right]}\)
Teraz wystarczy tylko wymnożyć
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{cc} 1&2 \\ 2&1 \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{c} 4-x_{3}+x_{4} \\ 6-x_{3}-x_{4} \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ x= \left( \frac{1}{3} \left(16-3x_{3}-x_{4} \right) \ , \frac{1}{3} \left( 14-3x_{3}+x_{4}\right) \ ,x_{3} \ , x_{4} \right)}\)
Etap pierwszy to sprowadzenie układu do postaci Cramera
W układzie Cramera macierz główna układu jest kwadratowa
oraz nieosobliwa czyli jej wyznacznik jest różny od zera
Liczysz rzad macierzy głównej i rząd macierzy rozszerzonej
Jeżeli rzędy są równe to
z macierzy głównej wybierasz podmacierz kwadratową niezerowym wyznaczniku
Stopień tej macierzy jest równy rzędowi macierzy
Niepotrzebne równania skreślić a nadmiarowe niewiadome przenieść do wektora wyrazów wolnych
Etap drugi to rozwiązanie układu postaci Cramera
Układ Cramera rozwiązujesz znanymi Tobie metodami
np
metodą podstawiania
metodą wyznacznikową Cramera
metodą eliminacji Gaussa
metodą równania macierzowego
tj mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy głównej układu
metodą rozkładu LU
\(\displaystyle{ rank(A)=2}\)
\(\displaystyle{ rank(Au)=2}\)
Wybierzmy podmacierz kwadratową stopnia drugiego
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} -1&2 \\ 2&-1\end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna do wybranej macierzy wynosi
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{3} \left[ \begin{array}{cc} 1&2 \\ 2&1 \end{array} \right]}\)
Teraz wystarczy tylko wymnożyć
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{cc} 1&2 \\ 2&1 \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{c} 4-x_{3}+x_{4} \\ 6-x_{3}-x_{4} \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ x= \left( \frac{1}{3} \left(16-3x_{3}-x_{4} \right) \ , \frac{1}{3} \left( 14-3x_{3}+x_{4}\right) \ ,x_{3} \ , x_{4} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 4 cze 2009, o 01:16 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 6 razy.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż układ równań
Chciałbym jeszcze tylko Tobie pokazać jak policzyć rząd macierzy oraz macierz odwrotną
Obliczmy rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -1&2&1&-1&4 \\ 2&-1&1&1&6 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ 2W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -2&4&2&-2&8 \\ 2&-1&1&1&6 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}+W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -1&2&1&-1&4 \\ 0&3&3&-1&14 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
W pierwszej kolumnie znajduje się tylko jeden niezerowy element skreślmy wiersz i kolumnę
na przecięciu których się on znajduje
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \\ 3&3&-1&14 \end{array} \right]}\) )
\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}}\)
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right]}\) )
Ponieważ w ostatnim wierszu są same zera skreślamy go
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \end{array} \right]}\) )
Tak więc mamy
rank(A)=rank(Au)=2
Obliczanie macierzy odwrotnej
Do odwracanej macierzy dołączamy macierz jednostkową
następnie za pomocą operacji elementarnych sprowadzamy macierz odwracaną do
postaci macierzy jednostkowej
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -1&2&1&0 \\ 2&-1&0&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ 2*W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -2&4&2&0 \\ 2&-1&0&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}+W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -1&2&1&0 \\ 0&3&2&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ -3*W_{1}}\)
\(\displaystyle{ 2*W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 3&-6&-3&0 \\ 0&6&4&2 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ W_{2}+W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 3&0&1&2 \\ 0&3&2&1 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna wynosi
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{3} \left[ \begin{array} {cc}1&2 \\ 2&1 \end{array} \right]}\)
Obliczmy rzędy macierzy głównej i rozszerzonej
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -1&2&1&-1&4 \\ 2&-1&1&1&6 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ 2W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -2&4&2&-2&8 \\ 2&-1&1&1&6 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}+W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} -1&2&1&-1&4 \\ 0&3&3&-1&14 \\ 0&3&3&-1&14\end{array}\right]}\)
W pierwszej kolumnie znajduje się tylko jeden niezerowy element skreślmy wiersz i kolumnę
na przecięciu których się on znajduje
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \\ 3&3&-1&14 \end{array} \right]}\) )
\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}}\)
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right]}\) )
Ponieważ w ostatnim wierszu są same zera skreślamy go
rank(Au)=1+rank(\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&3&-1&14 \end{array} \right]}\) )
Tak więc mamy
rank(A)=rank(Au)=2
Obliczanie macierzy odwrotnej
Do odwracanej macierzy dołączamy macierz jednostkową
następnie za pomocą operacji elementarnych sprowadzamy macierz odwracaną do
postaci macierzy jednostkowej
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -1&2&1&0 \\ 2&-1&0&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ 2*W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -2&4&2&0 \\ 2&-1&0&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}+W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} -1&2&1&0 \\ 0&3&2&1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ -3*W_{1}}\)
\(\displaystyle{ 2*W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 3&-6&-3&0 \\ 0&6&4&2 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ W_{2}+W_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 3&0&1&2 \\ 0&3&2&1 \end{array} \right]}\)
Macierz odwrotna wynosi
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{3} \left[ \begin{array} {cc}1&2 \\ 2&1 \end{array} \right]}\)