Gaussa,LU,metoda kolejnych przybliżeń

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
uczenica23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 3 cze 2009, o 05:59
Płeć: Kobieta

Gaussa,LU,metoda kolejnych przybliżeń

Post autor: uczenica23 »

Witam serdecznie wszystkich jestem nowa na forum i nie jestem pewna czy w dobrym dziale umiesciłam moje pytania. Mam kłopot z zdefiniowaniem pewnych zagadnień prosiła bym o pomoc
1.Zasada rozwiązywania układów równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
2.Zasada rozwiązywania układów równań liniowych metodą rozkładu LU.
3.Ogólna idea rozwiązywania układów równań liniowych metodami kolejnych przybliżeń.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Gaussa,LU,metoda kolejnych przybliżeń

Post autor: Mariusz M »

Istnieje kilka wariantów metody eliminacji Gaussa

W metodzie tej trzeba sprowadzić macierz do postaci trójkątnej (powyżej lub poniżej głównej przekątnej są same zera)

Zerować elementy można albo za pomocą opearcji elemetarnych
albo za pomocą mnożenia przez macierze ortogonalne (np obroty Givensa)

Układ z macierzą trójkątną można łatwo rozwiązać metodą podstawiania

Oczywiście eliminację Gaussa można poprowadzić do końca
tzn dopóki nie sprowadzimy macierzy do postaci jednostkowej lub do permutacji macierzy jednostkowej wtedy
wynik otrzymamy od razu

Operacje elementarne

1. Zamiana wierszy
(zamieniamy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy )
2. Pomnożenie wiersza przez skalar różny od zera
(mnożymy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
gdybyśmy pomnożyli przez skalar równy zero to elementy wiersza by się wyzerowały
i zmuszeni bylbyśmy do skreślenia go )
3. Dodanie jednego wiersza do innego wiersza
(dodajemy odpowiednio wszystkie elementy tych wierszy
ewentualnie mnożąc elementy z jednego wiersza przez skalar )
4. Wiersz macierzy można skreślić gdy jest on kombinacją liniową innych wierszy

Rozkład LU

1.

Za pomocą eliminacji Gaussa sprowadzamy macierz do postaci górnotrójkątnej przy czym
współczynniki użyte do zerowania odpowiednich elementów zapisujemy w macierzy dolnotrójkątnej
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy

2.

Ze wzoru na mnożenie macierzy dostajemy układ równań łatwy do rozwiązania metodą podstawiania
Macierz permutacji obrazuje przestawienia wierszy

Dla macierzy 3x3

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ l_{21}&1&0 \\ l_{31}&l_{32}&1 \end{array} \right]* \left[ \begin{array}{ccc} u_{11}&u_{22}&u_{33} \\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33} \end{array} \right]}\)

Przy mnożeniu macierzy można skorzystać z tzw schematu Falka

Mnożymy wiersz pierwszej macierzy przez kolumnę drugiej macierzy
tzn sumujemy wszystkie iloczyny gdzie pierwszy czynnik należy do wybranego wiersza pierwszej macierzy
a drugi czynnik należy do wybranej kolumny drugiej macierzy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}=u_{1} \\ a_{12}=u_{12}\\a_{13}=u_{13}\\a_{21}=l_{21}u_{11}\\a_{22}=l_{21}u_{12}+u_{22}\\a_{23}=l_{21}u_{13}+u_{23}\\a_{31}=l_{31}u_{11}\\a_{32}=l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22}\\a_{33}=l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33}\end{cases}}\)

Po rozkładzie macierzy głównej układu ma iloczyn macierzy dowtajemy dwa trójkątne układy równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=B \\ Ux=y \end{cases}}\)


Polecam książkę

"Metody numeryczne" Fortuna Macukow

Przeczytaj sobie cały rozdział 5 podanej pozycji
ODPOWIEDZ