Niech (A, V), (A', V') beda przestrzeniami afinicznymi nad cialem K.
Zachodzi dimV=1 (wymiar). Niech \(\displaystyle{ v_0 \in V\ \{0\}}\).
a) Pokaz, ze \(\displaystyle{ \{v_0\}}\) jest baza przestrzeni V.
Trzeba wiec pokazac, ze:
Jesli \(\displaystyle{ \{v_0\}}\) jest baza to
(i) jest liniowo niezalezne
zachodzi: \(\displaystyle{ t*v_0=0 \Rightarrow t=0 \vee v_0=0}\)
(ii)kazdy element \(\displaystyle{ \{v_0\}}\) da sie przedstawic jako kombinacje liniowe innego.
niech \(\displaystyle{ B={v_0,...,v_n}}\)- jest bazą. Wówczas każdy wektor jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ V=t_0 v_0+...+t_v_n nvn}\). Jako, ze nasza baza B jest tylko jednoelementowo, wowczas mamy \(\displaystyle{ V= t_0v_0}\). Jest to jedyne przedstawienie. Gdyby bowiem \(\displaystyle{ V=tv'_0v_0}\) to po odjęciu\(\displaystyle{ 0 = (t_0-t'_0)v_0}\) , a są liniowo niezależne czyli \(\displaystyle{ (t_0-t'_0)=0 \Rightarrow t_0=t'_0}\)
b)Pokaz, ze dla kazdego przeksztalcenia liniowego nad cialem K dla odwzorowanie: \(\displaystyle{ \delta : V \rightarrow V'}\)zachodzi:\(\displaystyle{ \forall_ {v\in V} \delta (v)= \lambda * \delta (v_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ v= \lambda * v_0}\)
no to z jednorodnosci przeksztalcenia liniowego mamy: \(\displaystyle{ \delta ( \lambda * v_o)= \delta (\lambda ) * \delta (v_0 )= \lambda * \delta (v_0)}\)
c) Pokaz, ze:
\(\displaystyle{ V' \rightarrow Hom_K (V,V'), v' \rightarrow ( \lambda *v_0 \rightarrow \lambfa* v')}\) jest bijekcja. ( jest poza tym prawdemowiac nawet izomorfizmem nad K, tzn. bijekcja i liniowe)
tu niestesty nie wiem jak pokazac....