Prosze o pomoc z tymi zadaniami
Napisać macierze przejścia z bazy B do bazy B' odpowiednich przestrzeni liniowych:
\(\displaystyle{ a. V = R^{3}, B = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}, B' = {[3, 3, 4], [-1, 2, 2], [1, 1, 1]}.}\)
\(\displaystyle{ b. V = R^{2} [x ], gdzie R^{2} [x ]}\)jest przestrzenią liniową wielomianów stopnia mniejszego bądź równego 2;\(\displaystyle{ B = { x + 1, x + 2, x^{2} +1}, B' = { x + 3, x + 4, x^{2}}.}\)
Napisać macierze podanych przekształceń liniowych \(\displaystyle{ U:U \rightarrow L}\): w podanych bazach przestrzeni U.
Zastosować wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy:
\(\displaystyle{ L(x,y)= (x+3y,y-3x), U=R ^{2}, \vec{u}_{1} = (2,1),\vec{u}_{2} = (-1,3)}\)
przestrzen liniowa
-
agnieszka6
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 maja 2009, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
-
scooby117
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 31 sty 2009, o 14:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wadowice
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 5 razy
przestrzen liniowa
Nie jestem pewien, czy moje odpowiedzi będą poprawne, więc proszę, aby ktoś jeszcze je zweryfikował
Więc tak...
a.
Nasza baza \(\displaystyle{ B}\) składa się z \(\displaystyle{ B _{1}=[1,0,0], B _{2}=[0,1,0], B _{3}=[0,0,1]}\), a baza \(\displaystyle{ B ^{'}}\) z \(\displaystyle{ B ^{'} _{1}=[3,3,4], B ^{'} _{2}=[-1,2,2], B^{'} _{3}=[1,1,1]}\).
Wyobraźmy sobie teraz takie coś (nie wiem jak tą czynność nazwać ):
\(\displaystyle{ B=[x _{1},x _{2},x _{3}]}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{'} =[y _{1},y _{2},y _{3}]}\)
Teraz zapisujemy rownanie:
\(\displaystyle{ y _{1} =a _{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{2} =a _{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{3} =a _{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}}\)
Podstawiamy kolejno wartości z każdych elementów bazy, dzięki czemu otrzymamy:
\(\displaystyle{ a _{11}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{21}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{31}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{12}=-1}\)
\(\displaystyle{ a_{22}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{32}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{13}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{23}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{33}=1}\)
Dzięki czemu możemy zapisać macierz:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\3&2&1\\4&2&1\end{array}\right]}\)
b.
Bazy \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{'}}\) traktujemy podobnie jak wcześniej.
Zadanie to rozwiąrzemy z układu o bazie, czyli zapiszemy je w następujący sposób:
\(\displaystyle{ B ^{'} _{1} =a _{11}B_{1}+a_{21}B_{2}+a_{31}B_{3}}\)
\(\displaystyle{ B ^{'} _{2} =a _{12}B_{1}+a_{22}B_{2}+a_{32}B_{3}}\)
\(\displaystyle{ B ^{'} _{3} =a _{13}B_{1}+a_{23}B_{2}+a_{33}B_{3}}\)
Podstawiając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x+3=a _{11} \cdot \left(x+1 \right) +a_{21}\cdot \left( x+2 \right) +a_{31}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
\(\displaystyle{ x+4=a _{12} \cdot \left(x+1 \right) +a_{22}\cdot \left( x+2 \right) +a_{32}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=a _{13} \cdot \left(x+1 \right) +a_{23}\cdot \left( x+2 \right) +a_{33}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
Wymnażamy i porządkujemy prawą stronę otrzymując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3=x^{2} \cdot a_{31}+x \cdot \left( a_{21}+a_{11} \right)+2a_{21}+a_{11}
\\ x+4=x^{2} \cdot a_{32}+x \cdot \left( a_{22}+a_{12} \right) +2a_{22}+a_{12}
\\ x^{2}=x^{2} \cdot a_{33}+x \cdot \left( a_{23}+a_{13} \right) +2a_{23}+a_{13} \end{cases}}\)
I teraz z równości wielomianów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{31}=0 \\ a_{21}+a_{11}=1 \\ 2a_{21}+a_{11}=3 \\ a_{32}=0 \\ a_{22}+a_{12}=1 \\ 2a_{22}+a_{12}=4 \\ a_{33}=1 \\ a_{23}+a_{13}=0 \\ 2a_{23}+a_{13}=0 \\ \end{cases}}\)
Wyliczamy kolejne wartości macierzy otrzymując ostatecznie:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -1&-2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)
Podpunkt c. wydaje mi się, że należy rozwiązać jak podpunkt b. , ale się jakoś zakręciłem i nie mogę wpaść na rozwiązanie, ale zapewniam, że nie jest ono skomplikowane
pozdrawiam
Więc tak...
a.
Nasza baza \(\displaystyle{ B}\) składa się z \(\displaystyle{ B _{1}=[1,0,0], B _{2}=[0,1,0], B _{3}=[0,0,1]}\), a baza \(\displaystyle{ B ^{'}}\) z \(\displaystyle{ B ^{'} _{1}=[3,3,4], B ^{'} _{2}=[-1,2,2], B^{'} _{3}=[1,1,1]}\).
Wyobraźmy sobie teraz takie coś (nie wiem jak tą czynność nazwać ):
\(\displaystyle{ B=[x _{1},x _{2},x _{3}]}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{'} =[y _{1},y _{2},y _{3}]}\)
Teraz zapisujemy rownanie:
\(\displaystyle{ y _{1} =a _{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{2} =a _{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{3} =a _{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}}\)
Podstawiamy kolejno wartości z każdych elementów bazy, dzięki czemu otrzymamy:
\(\displaystyle{ a _{11}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{21}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{31}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{12}=-1}\)
\(\displaystyle{ a_{22}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{32}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{13}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{23}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{33}=1}\)
Dzięki czemu możemy zapisać macierz:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\3&2&1\\4&2&1\end{array}\right]}\)
b.
Bazy \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{'}}\) traktujemy podobnie jak wcześniej.
Zadanie to rozwiąrzemy z układu o bazie, czyli zapiszemy je w następujący sposób:
\(\displaystyle{ B ^{'} _{1} =a _{11}B_{1}+a_{21}B_{2}+a_{31}B_{3}}\)
\(\displaystyle{ B ^{'} _{2} =a _{12}B_{1}+a_{22}B_{2}+a_{32}B_{3}}\)
\(\displaystyle{ B ^{'} _{3} =a _{13}B_{1}+a_{23}B_{2}+a_{33}B_{3}}\)
Podstawiając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x+3=a _{11} \cdot \left(x+1 \right) +a_{21}\cdot \left( x+2 \right) +a_{31}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
\(\displaystyle{ x+4=a _{12} \cdot \left(x+1 \right) +a_{22}\cdot \left( x+2 \right) +a_{32}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=a _{13} \cdot \left(x+1 \right) +a_{23}\cdot \left( x+2 \right) +a_{33}\cdot x^{2}+1 \left( \right)}\)
Wymnażamy i porządkujemy prawą stronę otrzymując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3=x^{2} \cdot a_{31}+x \cdot \left( a_{21}+a_{11} \right)+2a_{21}+a_{11}
\\ x+4=x^{2} \cdot a_{32}+x \cdot \left( a_{22}+a_{12} \right) +2a_{22}+a_{12}
\\ x^{2}=x^{2} \cdot a_{33}+x \cdot \left( a_{23}+a_{13} \right) +2a_{23}+a_{13} \end{cases}}\)
I teraz z równości wielomianów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{31}=0 \\ a_{21}+a_{11}=1 \\ 2a_{21}+a_{11}=3 \\ a_{32}=0 \\ a_{22}+a_{12}=1 \\ 2a_{22}+a_{12}=4 \\ a_{33}=1 \\ a_{23}+a_{13}=0 \\ 2a_{23}+a_{13}=0 \\ \end{cases}}\)
Wyliczamy kolejne wartości macierzy otrzymując ostatecznie:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -1&-2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)
Podpunkt c. wydaje mi się, że należy rozwiązać jak podpunkt b. , ale się jakoś zakręciłem i nie mogę wpaść na rozwiązanie, ale zapewniam, że nie jest ono skomplikowane
pozdrawiam