Witam. Mam takie zadanie, które nie wiem jak rozwiązać:
Rozważmy macierz kwadratową stopnia nieparzystego taką, że dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j}\) zachodzi \(\displaystyle{ a _{ij} = - a _{ji}}\) (wynika stąd, że elementy na przekątnej są równe zero). Opierając się na definicji uzasadnij, że wyznacznik macierzy jest równy zero.
proszę o pomoc
mecierz kwadratowa
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
mecierz kwadratowa
Skorzystaj z równości wyznaczników danej macierzy i macierzy transponowanej. Z jednej strony mamy:
\(\displaystyle{ detA = det A^{T}}\)
Z drugiej strona macierz transponowana w tym przypadku powstaje przez pomnożenie każdego z wierszy przez (-1), stąd mamy (n to wymiar macierzy):
\(\displaystyle{ det A = (-1)^{n} det A^{T} = - det A^{T}}\)
ponieważ n jest nieparzyste. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ detA = - det A}\)
A to już jest koniec.
\(\displaystyle{ detA = det A^{T}}\)
Z drugiej strona macierz transponowana w tym przypadku powstaje przez pomnożenie każdego z wierszy przez (-1), stąd mamy (n to wymiar macierzy):
\(\displaystyle{ det A = (-1)^{n} det A^{T} = - det A^{T}}\)
ponieważ n jest nieparzyste. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ detA = - det A}\)
A to już jest koniec.